Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 7 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

BÀI 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Các bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc hai một ẩn

a) 2x + 3y > 0                   b) x2 + 5x – 7 ≤ 0             c) 2x – 9 ≥ 0

d) x2 – y2 + 4 < 0              e) y2 – 2023 > 0                f)  – 3 < 25

Trả lời:

Bất phương trình bậc hai một ẩn : b; e

Bài 2: Hãy cho biết x = 0 có là nghiệm của các bất phương trình sau hay không ?

a) x2 – 9x + 7 > 0             b) 2x2 + 3 ≤ 0                   c) x2 + x – 6 ≥ 0

Trả lời:

a) 02 – 9.0 + 7 = 7 > 0 ( đúng) => x = 0 là nghiệm của bất phương trình

b) 2.02 + 3 = 3 ≤ 0 ( sai) => x = 0  không là nghiệm của bất phương trình

c) 02 + 0 – 6 = -6 ≥ 0 ( sai) => x = 0  không là nghiệm của bất phương trình

Bài 3: Trong các giá trị sau x = -3; x = 0 ; x = 5 , giá trị nào là nghiệm của bất phương trình x2 – 9x + 1 ≤ 0

Trả lời:

+) x = -3 ta có : (-3)2 – 9.(-3) + 1 = 37 ≤ 0 ( sai)

+) x = 0 ta có : 02 – 9.0 + 1 = 1 ≤ 0 ( sai)

+) x = 5 ta có : 52 – 9.5 + 1 = -24 ≤ 0 ( đúng)

Vậy x = 5 là nghiệm của bất phương trình

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số y =  

Trả lời:

Hàm số xác định ó -x2 - x + 20 ≥ 0 ó - 5 ≤ x ≤ 4

Vậy tập xác định của hàm số là D = [-5; 4]

Bài 2: Giải bất phương trình sau : 9x2 + 5x + 4 ≤ 0

Trả lời:

Xét tam thức f(x) = 9x2 + 5x + 4 có Δ = 52 – 4.9.4 = - 119 < 0

=> f(x) luôn dương ( cùng dấu với a)

hay 9x2 + 5x + 4 > 0 với mọi x => bất phương trình 9x2 + 5x + 4 ≤ 0 vô nghiệm.

Bài 3: Cho tam thức bậc hai f(x) = -x2 – 2x + 63. Tìm tất cả giá trị của x để f(x) ≥ 0

Trả lời:

f(x) = 0 ó -x2 – 2x + 63 = 0 ó x = 7 ; x = -9

hệ số a = -1 < 0 => f(x) ≥ 0 ó x ∈ [-9 ; 7]

Bài 4: Chứng minh bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

                     g(x) = x2 + 6x + 13 > 0

Trả lời:

Δ = 62 – 4.1.13 = -16 < 0

a = 1 => g(x) > 0 với mọi x

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m để bất phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m + 7 < 0 vô nghiệm

Trả lời:

+) TH1 : m = 0 => - 2x + 7 < 0 ó x >  ( loại)

+) TH2 : m ≠ 0

     Bất phương trình vô nghiệm ó mx2 – 2(m + 1)x + m + 7 ≥ 0 với mọi x

     ó m > 0 ; Δ’ ≤ 0 ó m > 0 ; 1 – 5m ≤ 0 ó m ≥

Bài 2: Tìm m để bất phương trình (m – 5)x2 – 4mx + m – 2 = 0 có nghiệm

Trả lời:

+) m = 5 => phương trình – 20x + 3 = 0 ó x =  ( thỏa mãn)

+) m ≠ 5 => phương trình có nghiệm ó Δ’ = ( -2m)2 – (m – 5)(m – 2) ≥ 0

ó 3m2 + 7m – 10 ≥ 0 ó m ≥ 1 hoặc m ≤

Kết hợp 2 trường hợp ta được m ≥ 1 hoặc m ≤

Bài 3: Lợi nhuận thu được trong một ngày từ việc kinh doanh gạo của cửa hàng phụ thuộc vào giá bán ( x) của 1 kg gạo theo công thức f(x) = -8x2 + 432x - 5800 ( giá bán và lợi nhuận tính bằng đơn vị nghìn đồng). Hỏi cửa hàng đó bán theo giá như thế nào thì sẽ có lãi ?

Trả lời:

Xét tam thức bậc hai f(x) = -8x2 + 432x – 5800

f(x) có hai nghiệm là x1 = 25 và x2 = 29

Ta có bảng xét dấu :

Cửa hàng có lãi ó f(x) > 0 ó 25 < x < 29

Vậy giá bán 25 < x < 29 ( nghìn đồng) thì cửa hàng có lãi.

Bài 4 : Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

                                         ( m + 5)x2 < 2.(mx – m + 2)

Trả lời:

+) m = - 5 ta có 0 < -10x + 14 : không nghiệm đúng với mọi x

+) m ≠ -5

ó (m + 5)x2 – 2mx + 2m – 4 < 0 với mọi x

ó a < 0 ; Δ’ < 0

ó m + 5 < 0 ; -m2 – 6m + 20  < 0

ó m < -5 ; m < - -3  hoặc m >  -3  

ó m < -  -3  

Vậy m < - -3  

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x4 – 13x2 + 36 > 0

Trả lời:

Ta có : x4 – 13x2 + 36 = 0 ó (x2 -9)(x2 – 4) = 0 ó x = ± 3 ; x = ± 2

Đặt f(x) = x4 – 13x2 + 36

Bảng xét dấu

Vậy tập nghiệm của f(x) < 0 là (−;−3) ∪ (-2;2) ( 3 ; +)

Bài 2: Tìm m để bất phương trình . ( 3 - ) < 0 có nghiệm.

Trả lời:

. ( 3 - ) < 0

ó x > m2 + m ;  3 -  < 0

ó x > m2 + m ;  < 0

Đặt f(x) =

Ta có bảng xét dấu:

Do đó f(x) < 0 ó x (  ; -3)  (; 1)  (  ; 2)

=> Bất phương trình đã cho có nghiệm ó m2 + m < 2 ó -2 < m < 1

Vậy – 2 < m < 1.

Bài 3: Một viên gạch hình vuông có cạnh thay đổi được đặt nội tiếp trong một hình vuông có cạnh bằng 20cm , tạo thành bốn tam giác xung quanh như hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị của x để diện tích viên gạch không vượt quá 218 cm2 .

Trả lời:

Diện tích viên gạch là : EF2 = (20-x)2 + x2 = 2x2 – 40x + 400

Ta có 2x2 – 40x + 400 ≤ 218 ó 2x2 – 40x + 182 ≤ 0

Đặt f(x) = 2x2 – 40x + 182

Bảng xét dấu

=> f(x) ≤ 0 ó 7 ≤ x ≤ 13

Vậy 7 ≤ x ≤ 13

Bài 4 : Tìm m để x [-1; 1] là nghiệm của bất phương trình 3x2 – 2(m + 5)x – m2 + 2m + 8 ≤ 0

Trả lời:

+) Ta có : 3x2 – 2(m + 5)x – m2 + 2m + 8 = 0 ó x = m + 2 hoặc x =

+) m + 2 >  ó 3m + 6 > 4 – m ó m >  

     Bất phương trình ó  ≤ x ≤ m + 2

   x [-1; 1] là nghiệm của bất phương trình ó [-1; 1] ⸦ [ ; m + 2]

    => - 1 ≥  ; 1 ≤ m + 2 ó m ≥ 7 ; m ≥ -1 ó m ≥ 7

   Kết hợp điều kiện m >  => m ≥ 7

+) m + 2 <   ó m <

   Bất phương trình ó m + 2 ≤ x ≤

   x [-1; 1] là nghiệm của bất phương trình ó [-1; 1] ⸦ [m + 2;  ]

   ó - 1 ≥ m + 2; 1 ≤  óm ≤ -3 ; m ≤ 1 ó m ≤ -3

   Kết hợp điều kiện m <  => m ≤ -3

+) m =  ta có bất phương trình ó x =  ( không thỏa mãn)

Vậy m  ( - ; -3]  [7 ; +)