Giáo án và PPT Toán 11 cánh diều Bài 2: Cấp số cộng

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS thảo luận và trả lời:

Ruộng bậc thang là một hình thức canh tác có nhiều ở khu vực Tây Bắc và Đông Bắc Việt Nam. Hình ảnh ruộng bậc thang thể hiện nét đẹp văn hóa, là công trình nghệ thuật độc đáo của đồng bào vùng cao phía Bắc. Ruộng bậc thang ở một số nơi đã trở thành những địa chỉ tham quan du lịch đầy hấp dẫn của du khách trong nước và quốc tế.

Một ruộng bậc thang có thửa thấp nhất nằm ở độ cao 1 250 m so với mực nước biểu, độ chênh lệch giữa thửa trên và thửa dưới trung bình là 1,2 m.

Hỏi thửa ruộng ở bậc thứ 10 có độ cao là bao nhiêu so với mực nước biển?

(Ruộng bậc thang Mù Cang Chải – Yên Bái)

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Định nghĩa

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ1.
• Với dãy số trong phần HĐ1 trên, dãy số đó có là một cấp số cộng không?
• Cách tìm công sai của một cấp số cộng?
• Cho một cấp số cộng có ; d = 0. Hãy nhận xét về cấp số cộng này có gì đặc biệt?
• Hoàn thành luyện tập 1 và luyện tập 2.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1

Ta thấy trong dãy số: -2, 3, 8, 13, 18, 23, 28. Kể từ số hạng thứ hai trở đi số hạng sau hơn số hạng trước năm đơn vị.

Khái niệm

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

với

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Câu hỏi:

Dãy số trong phần HĐ1 là một cấp số cộng với công sai d = 5.

Lưu ý:

Nếu là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên , ta có:

Chú ý

Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 1

Công sai của cấp số cộng đã cho là:

Ta có: 

Ví dụ 2: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Luyện tập 2

Ta có: 

Xét hiệu: 

Do đó là một cấp số cộng.

Hoạt động 2: Số hạng tổng quát

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ2.
• Nêu công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng.
• Rút n từ công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng?
• Hoàn thành luyện tập 3.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ2

a) Năm số hạng đầu của cấp số cộng theo và d là:

; ; 

b) Dự đoán công thức tính : 

Công thức số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát được xác định bởi công thức:

với .

Nhận xét

Với , từ công thức

Ta có: với .

Ví dụ 3: (SGK – tr.50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Luyện tập 3

Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu: 

và công sai m.

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: 

Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:

m.

Hoạt động 3: Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

HS thảo luận trả lời câu hỏi: 

• Thực hiện HĐ3.
• Nêu công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng.
• Hoàn thành luyện tập 4.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ3

a) Ta có:

….

Ta thấy:

b) Ta có:

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng có số hạng đầu và công sai d. Đặt .

Khi đó:

Nhận xét

Do nên . Suy ra:

Ví dụ 4: (SGK – tr.51).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51).

Luyện tập 4

a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai

Khi đó: 

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu và công sai

Khi đó

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

Ví dụ 5: (SGK – tr.51).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.51).

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho cấp số cộng (un) có: u1 = -0,1; d = 0,1. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:

A. 1,6

B. 6

C. 0,5

D. 0,6

Câu 2: Xác định m để phương trình x⁴−2(m+1)x²+2m+1=0(1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m = 2 hoặc m=−4/9

B. m = 4 hoặc m=−4/9

C. m = 4 hoặc m = -2

D. m = 3 hoặc m = -1

Câu 3: Cho hai cấp số cộng (u_n):4, 7, 10, 13, 16, ...và (v_n):1, 6, 11, 16, 21, ...Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số cộng , có bao nhiêu số hạng chung?

A.10

B. 20

C. 30

D. 40

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: C

Câu 2: B

Câu 3: C

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Xác định giá trị của x để 3 số: 1+2x; 2x²−1; −2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Câu 2: Ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng -9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. Tìm số hạng đầu tiên