Giáo án điện tử chuyên đề Toán 12 cánh diều Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Trong một trò chơi quay số trúng thưởng, người ta dùng một lồng đựng 100 quả bóng có cùng kích thước và khối lượng, mỗi quả bóng khác nhau được viết một số

nguyên dương khác nhau từ 1 đến 100. Mỗi lần quay lồng, ta nhận được ngẫu nhiên 1 quả bóng. Ghi lại số xuất hiện trên quả bóng và bỏ quả bóng đó trở lại vào lồng. Gọilà số lần xuất hiện số 10 khi quay lồng 30 lần.

Đại lượng nói trên trong toán học được gọi là gì?

CHUYÊN ĐỀ I. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

BÀI 1. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC.

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN

NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

I

NỘI DUNG BÀI HỌC

Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Kì vọng

Phương sai và độ lệch chuẩn

Khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét phép thử : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”.

a) Viết không gian mẫu gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu.

b) Kí hiệu là số lần xuất hiện mặt ngửa. Hãy nêu các giá trị của .

c) Giá trị của có dự đoán trước được không?

HĐ1

Mặt sấp kí hiệu: ; Mặt ngửa kí hiệu: .

a)

b) là số lần xuất hiện mặt ngửa

• Nếu cặp kết quả là thì
• Nếu cặp kết quả là hoặc thì

Giải:

• Nếu cặp kết quả là thì

c) Giá trị của không thể được dự đoán chính xác trước khi thí nghiệm được thực hiện vì việc tung đồng xu là một sự kiện ngẫu nhiên và không thể biết trước kết quả cụ thể cho mỗi lần tung.

Giải:

Nhận xét: Đại lượng có các đặc điểm sau:

• Giá trị của là một số thuộc tập hợp
• Giá trị của là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được

ĐỊNH NGHĨA

Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là tập hữu hạn phần tử.

Đại lượng được gọi là một biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hợp hữu hạn nào đó, mỗi giá trị ấy không dự đoán trước được và phụ thuộc vào kết quả của phép thử ngẫu nhiên .

Chú ý: Các biến ngẫu nhiên rời rạc thường được kí hiệu là

Ví dụ 1: Xét phép thử : “Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất một lần”.

a) Viết không gian mẫu gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc.

b) Gọi là số chấm trên mặt xuất hiện của xúc xắc. Đại lượng có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không?

Giải:

a) Không gian mẫu mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; ...; mặt 6 chấm.

b) Đại lượng là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp

Luyện tập 1

Chứng tỏ rằng trong bài toán ở phần mở đầu, là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp

Giải:

là biến ngẫu nhiên: vì giá trị của phụ thuộc vào kết quả của quá trình ngẫu nhiên khi quay lồng và không dự đoán trước được.

Tập giá trị của : chỉ có thể nhận giá trị từ đến vì không thể xuất hiện số quá lần trong lần quay.

Do đó, là một biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị thuộc tập hợp .

Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Xét phép thử “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp”. Xét biến ngẫu nhiên rời rạc là số lần xuất hiện mặt ngửa.

Xét các biến cố:

: “Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 0”;

“Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 1”;

“Số lần xuất hiện mặt ngửa sau hai lần tung bằng 2”.

a) Tính

b) Tìm số thích hợp cho ? trong Bảng 1:

HĐ2

Giải:

b)

ĐỊNH NGHĨA

Giả sử là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là . Giả sử xác suất để nhận giá trị bằng , tức là với . Các thông tin về như vậy được trình bày dưới dạng như bảng sau:

Bảng trên được gọi là bảng phân bố xác suất (hay gọi tắt là phân bố xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc .

Người ta chứng minh được rằng .

Ví dụ 2: Trong hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi trong hộp. Gọi là số viên bi xanh trong 3 viên bi được chọn ra.

a) Chứng minh rằng là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp

b) Lập bảng phân bố xác suất của .

Giải:

a) Xét phép thử : “Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bị trong hộp” có không gian mẫu là .

Ta thấy: Số viên bi xanh trong 3 viên bi được chọn ra nhận một trong các giá trị

Vậy là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập hợp

Giải:

b) Với , ta có:

Vậy bảng phân bố xác suất của là:

Ví dụ 3: Có hai nhóm học sinh cùng tham gia một hoạt động của nhà trường. Nhóm thứ nhất có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhóm thứ hai có 3 học sinh nam và 7 học sinh nữ. Từ mỗi nhóm chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Gọi là số học sinh nam trong số 2 học sinh được chọn ra.

a) Lập bảng phân bố xác suất của .

b) Tính xác suất để trong số 2 học sinh được chọn ra có ít nhất 1 học sinh nam.

Giải:

a) Số cách chọn 2 học sinh sao cho mỗi học sinh ở một nhóm khác nhau là:

Biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ có thể nhận các giá trị:

Từ đó ta nhận được bảng phân bố xác suất của như sau:

Giải:

b) Gọi là biến cố “Trong số 2 học sinh được chọn ra có ít nhất 1 học sinh nam”.

Ta có:

Luyện tập 2

Một nhóm có 10 học sinh, trong đó có 3 học sinh kết quả học tập Tốt, 4 học sinh kết quả học tập Khá, còn lại là học sinh kết quả học tập Đạt. Từ nhóm đó chọn ngẫu nhiên

đồng thời 3 học sinh. Gọi X là số học sinh kết quả học tập Tốt được chọn.

a) Lập bảng phân bố xác suất của X.

b) Tính xác suất để trong số 3 học sinh được chọn ra có ít nhất 1 học sinh kết quả học tập Tốt.

Giải:

a) Số cách chọn 3 học sinh từ 10 học sinh:

Biết ngẫu nhiên rời rạc chỉ có thể nhận các giá trị:

b) Xác suất để có ít nhất 1 học sinh kết quả học tập Tốt:

Kì vọng

Một hộp đựng 10 quả cầu có cùng kích thước và màu sắc nhưng khác nhau về khối lượng: 5 quả cầu nặng 1 kg, 2 quả cầu nặng 2 kg, 3 quả cầu nặng 3 kg. Chọn ngẫu nhiên 1 quả cầu từ chiếc hộp.

a) Tính khối lượng trung bình của 10 quả cầu trên.

b) Gọi (kg) là khối lượng của quả cầu được chọn.

Tính xác suất và giá trị của biểu thức

c) So sánh khối lượng trung bình của 10 quả cầu và giá trị của .

HĐ3

Giải:

a) Khối lượng trung bình của 10 quả cầu là:

c) Khối lượng trung bình của 10 quả cầu bằng

ĐỊNH NGHĨA

Cho là biến có ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là và ,

Kì vọng của , kí hiệu là , là một số được tính theo công thức:

…

Nhận xét:

• Kì vọng là một số cho ta ý niệm về độ lớn trung bình của . Vì thế kì vọng còn được gọi là giá trị trung bình của .
• Kì vọng của không nhất thiết thuộc tập giá trị của .

Ví dụ 4: Trong một trò chơi đặt cược, người ta lấy 100 số, trong đó chỉ có 1 số thắng và 99 số thua. Người chơi phải đặt cọc số tiền T. Nếu thắng thì được 70 lần tiền đặt cọc, còn thua thì mất tiền đặt cọc. Mỗi lần chơi chỉ được chọn 1 số. Gọi là số tiền thu về cho một lần chơi.

a) Lập bảng phân bố xác suất của .

b) Tính số tiền trung bình thu về của một lần chơi.

c) Có nên chơi trò này nhiều lần không?

Giải:

a) Vì trong một lần chơi thì số tiền thu về có thể là nếu thua và nếu thắng nên tập giá trị của là

Từ đó ta nhận được bảng phân bố xác suất của X như sau:

b) Số tiền trung bình thu về của một lần chơi là:

c) Từ câu b) ta thấy trung bình mỗi lần chơi sẽ lỗ Vì vậy không nên chơi nhiều lần.

Luyện tập 3

--------------- Còn tiếp ---------------