Giáo án điện tử chuyên đề Toán 12 cánh diều Bài 2: Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC

MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Xét phép thử : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất một lần”. Do chỉ có hai kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của đồng xu là và nên không gian mẫu của phép thử đó là .

Gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị bằng 0 nếu mặt xuất hiện của đồng xu là và nhận giá trị bằng 1 nếu mặt xuất hiện của đồng xu là .

Câu hỏi: Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc gợi nên khái niệm gì trong toán học?

CHUYÊN ĐỀ I.

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN RỜI RẠC.

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

BÀI 2. PHÂN BỐ BERNOULLI. PHÂN BỐ NHỊ THỨC

NỘI DUNG BÀI HỌC

II. Phân bố nhị thức

I. Phân bố Bernoulli

I. PHÂN BỐ BERNOULLI

• HĐ1: Xét phép thử : “Một vận động viên bắn 1 phát súng vào mục tiêu”. Gọi là số lần bắn trúng mục tiêu. Khi đó, là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị thuộc tập Giả sử . Suy ra . Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Giải:

Bảng phân bố xác suất:

Nhận xét: Bảng phân bố xác suất lập được ở trên được gọi là phân bố Bernoulli của biến ngẫu nhiên rời rạc .

Khái niệm

Biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là có phân bố Bernoulli với tham số , kí hiệu , nếu có bảng phân bố xác suất như sau:

Ví dụ 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc ở phần mở đầu có phân bố Bernoulli hay không?

Giải:

Vậy biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân bố xác suất như sau:

Ví dụ 2: Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu và là một biến cố Gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận giá trị bằng 1 nếu biến cố xảy ra và nhận giá trị bằng nếu biến cố không xảy ra. Biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli hay không? Vì sao?

Giải:

Giả sử Suy ra

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc là:

Vậy là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Bernoulli với tham số

Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Bạn An chọn ngẫu nhiên 1 phương án để trả lời câu hỏi đó. Giả sử X nhận giá trị 1 nếu phương án của bạn An là đúng và nhận giá trị 0 trong trường hợp ngược lại. Hỏi X có phải biến ngẫu nhiên rời rạc hay không? Nếu có, X có phân bố Bernoulli hay không? Vì sao?

Luyện tập 1

Giải:

Vậy biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố xác suất như sau:

là biến ngẫu nhiên rời rạc vì giá trị của là một số thuộc tập hợp .

II. PHÂN BỐ NHỊ THỨC

1. Phép thử lặp và công thức Bernoulli

• HĐ2.

1. Phép thử lặp và công thức Bernoulli

• HĐ2.

Giải:

a) Khi tung một đồng xu cân đối và đồng chất một lần thì kết quả đồng xu có thể xuất hiện mặt sấp hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa

Ta có: .

b) Có 4 kết quả có thể xảy ra:

• Mặt sấp xuất hiện ở cả hai lần tung.
• Lần thứ nhất xuất hiện mặt sấp , lần thứ hai xuất hiện mặt ngửa
• Lần thứ nhất xuất hiện mặt ngửa , lần thứ hai xuất hiện mặt sấp .
• Mặt ngửa xuất hiện ở cả hai lần tung.

c) Khi tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất.

• Biến cố : “Mặt sấp không xuất hiện trong cả hai lần tung”.
• Biến cố : “Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả hai lần tung”.

• Biến cố : “Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả hai lần tung”

Kết luận

Với mỗi , xét biến cố : “Kết quả xuất hiện lần trong lần thực hiện phép thử một cách độc lập”. Khi đó:

với

Công thức trên được gọi là công thức Bernoulli.

Giải:

Ví dụ 3: Xét phép thử : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp một cách độc lập”. Tính xác suất của các biến cố:

: “Mặt sấp không xuất hiện trong cả ba lần tung”;

: “Mặt sấp xuất hiện một lần trong cả ba lần tung”;

: “Mặt sấp xuất hiện hai lần trong cả ba lần tung”;

: “Mặt sấp xuất hiện ba lần trong cả ba lần tung”.

Xét phép thử : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất một lần”.

Không gian mẫu của phép thử là

Khi đó, là phép thử lặp có không gian mẫu

Giải:

Giải:

Ví dụ 4: Một xạ thủ bắn 5 lần liên tiếp vào mục tiêu một cách độc lập. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong 1 lần bắn là 0,8. Hãy tính xác suất của biến cố : “Trong 5 lần bắn có 3 lần trúng mục tiêu”.

Xét phép thử lặp : “Bắn 5 lần liên tiếp vào mục tiêu một cách độc lập”.

Áp dụng công thức Bernoulli với và , ta có:

Người ta tiến hành xét nghiệm một loại bệnh cho 5 người liên tiếp một cách độc lập. Xác suất mỗi người được xét nghiệm nhận kết quả dương tính đều là 0,2. Hãy tính xác suất của biến cố : “Trong 5 người được xét nghiệm có 2 người nhận kết quả dương tính”.

Luyện tập 2

Giải:

Xét phép thử lặp : “Xét nghiệm một loại bệnh cho 5 người liên tiếp một cách độc lập”.

Áp dụng công thức Bernoulli với Ta có:

2. Phân bố nhị thức

• HĐ3. Xét phép thử lặp : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập”. Gọi là số lần mặt ngửa xuất hiện sau hai lần tung. Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc .

Xét phép thử lặp : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp một cách độc lập”.

nhận giá trị trong tập .

Giải:

Áp dụng công thức Bernoulli, ta có:

Ta có bảng phân bố xác suất của là:

Giải:

Nhận xét: Bảng phân bố xác suất lập được ở trên được gọi là phân bố nhị thức của biến ngẫu nhiên rời rạc .

Kết luận

Biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là có phân bố nhị thức với tham số và , kí hiệu , nếu nhận các giá trị thuộc tập hợp với xác suất:

Bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên như sau:

Chú ý:

Giả sử là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số và . Khi đó, kì vọng và phương sai .

Xét phép thử ngẫu nhiên có không gian mẫu là tập hợp chỉ gồm hai kết quả, kí hiệu và , với . Xét phép thử lặp : “Thực hiện lần liên tiếp phép thử một cách độc lập”. Gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ số lần xuất hiện kết quả trong phép thử lặp . Khi đó, có phân bố nhị thức với tham số và .

Ví dụ 5: Xét phép thử lặp : “Tung một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp một cách độc lập” trong Ví dụ 3. Gọi là số lần xuất hiện mặt sấp trong cả ba lần tung. Biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức hay không? Vì sao?

Giải:

Sử dụng các kết quả tính toán trong Ví dụ 3, ta có thể lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc là:

Vậy là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số và

Ví dụ 6: Một xưởng sản xuất có 5 máy hoạt động độc lập với nhau. Xác suất mỗi máy bị hỏng trong một ngày là 0,1. Tính xác suất có đúng 2 máy bị hỏng trong một ngày.

Giải:

Xét phép thử lặp : “Kiểm tra tình trạng hoạt động của 5 máy một cách độc lập”.

Gọi là số máy bị hỏng trong một ngày. Khi đó, là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số và . Do đó

Vậy xác suất có đúng 2 máy bị hỏng trong một ngày là

Ví dụ 7: Tỉ lệ sản phẩm lỗi của một lô hàng là 1%. Từ lô hàng này chọn ra ngẫu nhiên (có hoàn lại) sản phẩm một cách độc lập. Tìm giá trị nhỏ nhất của sao cho xác suất nhận được ít nhất 1 sản phẩm lỗi trong sản phẩm được chọn ra lớn hơn 0,95.

Giải:

Gọi là số sản phẩm lỗi trong sản phẩm được chọn ra

Khi đó, là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số và

Do đó,

Suy ra

Từ đó, ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của là

Ví dụ 8: Bạn Ngân tham dự một kì thi vấn đáp gồm 3 câu hỏi, các câu hỏi được trả lời một cách độc lập, với mỗi câu hỏi: trả lời đúng được 10 điểm, trả lời sai không được điểm. Xác suất bạn Ngân trả lời đúng 1 câu hỏi là 0,7. Tính xác suất tổng số điểm bạn Ngân nhận được sau khi trả lời cả 3 câu hỏi ít nhất là 20 điểm.

Giải:

Gọi là số câu hỏi bạn Ngân trả lời đúng. Khi đó, là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức với tham số và

Tổng số điểm bạn Ngân nhận được khi đó là:

Ta có: Do đó

Vậy xác suất tổng số điểm bạn Ngân nhận được ít nhất là 20 điểm sau khi trả lời cả 3 câu hỏi là

Luyện tập 3

Giải:

Gieo một xúc xắc cân đối và đồng chất 10 lần một cách độc lập. Tính xác suất mặt 1 chấm xuất hiện không quá ba lần.

Gọi là số lần xuất hiện mặt 1 chấm trong 10 lần gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất một cách độc lập.

Do đó,

LUYỆN TẬP

THU HOẠCH CÀ RỐT

Câu 1: Một gia đình có 10 người con. Giả sử xác suất sinh con trai, con gái như nhau. Xác suất có 5 con trai, 5 con gái là

--------------- Còn tiếp ---------------