Giáo án điện tử chuyên đề Toán 12 cánh diều Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

CHÀO MỪNG CẢ LỚP

ĐÃ ĐẾN VỚI BÀI HỌC

HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một công ty kinh doanh đồ uống sản xuất hai loại nước sinh tố theo công thức sau:

Trong nước sinh tố loại thứ nhất có nước anh đào, nước cam và giá bán là đồng/lít.

Hỏi công ty phải sản xuất bao nhiêu lít nước sinh tố mỗi loại sao cho tổng số tiền công ty thu được là nhiều nhất?

Trong nước sinh tố loại thứ hai có nước anh đào, nước cam và giá bán là đồng/lít. Công ty có nước anh đào và nước cam.

BÀI 1. VẬN DỤNG HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG TOÁN HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU

NỘI DUNG BÀI HỌC

I. Khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính

II. Cách giải một số bài toán quy hoạch tuyến tính

I. KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

• HĐ: Trong bài toán ở phần mở đầu, gọi lần lượt là số lít nước sinh tố loại thứ nhất và loại thứ hai mà công ty dự định sản xuất.

Giải:

a) Số lít nước anh đào có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Số lít nước cam có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có hệ bất phương trình:

• HĐ: Trong bài toán ở phần mở đầu, gọi lần lượt là số lít nước sinh tố loại thứ nhất và loại thứ hai mà công ty dự định sản xuất.

Giải:

b) Tổng số tiền công ty thu được khi bán lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là:

(đồng).

Vậy điều kiện ràng buộc đối với và sao cho tổng số tiền công ty thu được là nhiều nhất là:

Khái niệm

Bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm mục tiêu trong điều kiện hàm mục tiêu là hàm bậc nhất đối với các biến và mỗi một điều kiện ràng buộc là bất phương trình bậc nhất đối với các biến (không kể điều kiện ràng buộc biến thuộc tập số nào).

Chú ý: Ta có thể viết bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến về dạng sau:

hoặc

trong đó các điều kiện ràng buộc đều là các bất phương trình bậc nhất đối với .

Ví dụ. Một doanh nghiệp cần sản xuất hai loại sơn từ hoá chất màu A và hoá chất màu B theo công thức sau: Để pha 1l loại sơn thứ nhất, cần dùng 0,4l hoá chất màu A và 0,6l hoá chất màu B. Để pha 1l loại sơn thứ hai, cần dùng 0,3l hoá chất màu A và 0,7l hoá chất màu B. Giá bán của loại sơn thứ nhất, loại sơn thứ hai lần lượt là 300 000 đồng/lít, 350 000 đồng/lít. Công ty có 250l hoá chất màu A và 300l hoá chất màu B. Trong những điều kiện đó, doanh nghiệp cần xác định số lượng mỗi loại sơn phải sản xuất sao cho số tiền thu được là lớn nhất. Hãy viết yêu cầu đó của doanh nghiệp ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính.

Giải:

Gọi lần lượt là số lít sơn loại thứ nhất, loại thứ hai mà doanh nghiệp dự định sản xuất.

Số tiền doanh nghiệp thu được khi đó là:

(đồng).

Do hoá chất màu A dùng để sản xuất không vượt quá 250l nên ta có:

Do hoá chất màu B dùng để sản xuất không vượt quá 300l nên ta có:

Giải:

Vậy yêu cầu đó của doanh nghiệp có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Luyện tập 1

Người ta cần đóng 20 kg hàng hoá vào hai loại hộp. Mỗi chiếc hộp loại I đựng được 2 kg hàng hoá. Mỗi chiếc hộp loại II đựng được 3 kg hàng hoá. Hãy lập mô hình toán học của bài toán trên sao cho số hộp cần dùng là nhỏ nhất.

Giải:

Gọi và lần lượt là số chiếc hộp loại I và loại II cần dùng .

Tổng số hộp cần dùng là (hộp).

Số kg hàng hóa đựng được là (kg).

Do người ta cần đóng 20 kg hàng hóa nên ta có .

Luyện tập 1

Người ta cần đóng 20 kg hàng hoá vào hai loại hộp. Mỗi chiếc hộp loại I đựng được 2 kg hàng hoá. Mỗi chiếc hộp loại II đựng được 3 kg hàng hoá. Hãy lập mô hình toán học của bài toán trên sao cho số hộp cần dùng là nhỏ nhất.

Vậy để số hộp cần dùng là nhỏ nhất thì ta có thể mô hình hóa bài toán như sau:

Giải:

II. CÁCH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Ghi nhớ

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Bước 2. Trong tất cả các điểm thuộc , tìm điểm sao cho biểu thức có giá trị lớn nhất với bài toán dạng (I) (hoặc có giá trị nhỏ nhất với bài toán ở dạng (II)).

Chú ý:

Khi miền nghiệm là đa giác, ta thừa nhận rằng biểu thức đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tại cặp số thực là tọa độ một trong các đỉnh của đa giác đó. Khi đó, ta có thể thực hiện Bước 2 như sau:

• Xác định tọa độ các đỉnh của đa giác đó.
• Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác đó.
• So sánh các giá trị và kết luận.

Bài toán 1. Một cửa hàng điện tử dự định kinh doanh hai loại ti vi: loại 50 inch và loại 55 inch với số vốn ban đầu không vượt quá 1,8 tỉ đồng. Giá nhập và lợi nhuận dự kiến của mỗi loại ti vi được cho trong Bảng 1.

Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu tiêu thụ của thị trường sẽ không vượt quá 100 chiếc ti vi cả hai loại. Tính số lượng ti vi mỗi loại mà cửa hàng nên nhập về để lợi nhuận thu được (sau khi bán hết hàng nhập về) là lớn nhất.

Giả sử cửa hàng cần nhập (chiếc) ti vi 50 inch và (chiếc) ti vi 55 inch

Lợi nhuận cửa hàng thu được khi đó là: (triệu đồng).

Số tiền để nhập hai loại ti vi với số lượng như trên là (triệu đồng).

Số tiền tối đa để đầu tư cho hai loại ti vi là 1,8 tỉ đồng nên ta có:

hay

Vì nhu cầu tiêu thụ của thị trường không quá 100 máy nên .

Giải:

Vì vậy, yêu cầu của cửa hàng có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Giải:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( là các số thực):

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi thoả mãn hệ bất phương trình

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Miền nghiệm là miền tứ giác với toạ độ các đỉnh

(Hình 1).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của tứ giác này:

Giải:

Bước 3. Ta đã biết biểu thức đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực là toạ độ một trong các đỉnh của tứ giác

So sánh bốn giá trị thu được của ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là .

Bước 4. Vì và đều là số tự nhiên nên cặp số là nghiệm của bài toán

Vậy cửa hàng cần nhập về 70 chiếc ti vi loại 50 inch và 30 chiếc ti vi loại 55 inch để lợi nhuận thu được (sau khi bán hết hàng nhập về) là lớn nhất.

Giải:

Luyện tập 2

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu.

Giải:

Gọi lần lượt là số lít nước sinh tố loại thứ nhất và loại thứ hai mà công ty dự định sản xuất.

Tổng số tiền công ty thu được khi bán lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là: (đồng).

Số lít nước anh đào có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Số lít nước cam có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Giải:

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dưới dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( là các số thực):

hay

Giải:

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi thỏa mãn hệ bất phương trình

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Miền nghiệm là miền tứ giác với tọa độ các đỉnh

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của tứ giác này:

Giải:

Bước 3. Ta đã biết biểu thức đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác .

So sánh bốn giá trị thu được của ở bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là .

Bước 4. Vì và đều là số tự nhiên nên cặp số là nghiệm của bài toán

Vậy công ty phải sản xuất lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít sinh tố loại thứ hai để tổng số tiền công ty thu được nhiều nhất.

Bài toán 2. Cô Hạnh đầu tư không quá 1,2 tỉ đồng vào hai loại cổ phiếu: cổ phiếu A dự kiến chi trả cổ tức bằng tiền với tỉ lệ 4%; cổ phiếu B rủi ro cao dự kiến chi trả cổ tức bằng tiền với tỉ lệ 10%. Giá cổ phiếu A là 15 000 đồng/1 cổ phiếu, giá cổ phiếu B là 25 000 đồng/1 cổ phiếu. Để giảm thiểu rủi ro, cô Hạnh quyết định mua số lượng cổ phiếu B không quá 12 000 cổ phiếu. Hỏi cô Hạnh nên đầu tư mỗi loại bao nhiêu cổ phiếu để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Giải:

Giả sử cô Hạnh cần mua cổ phiếu A và cổ phiếu B

Khi đó, số tiền cô Hạnh cần chi ra là: (đồng).

Vì số tiền cô Hạnh dự định đầu tư không quá 1,2 tỉ đồng nên ta có:

hay

Giải:

Vì số lượng cổ phiếu B được mua không quá cổ phiếu nên

Một cổ phiếu A sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là:

(đồng)

Một cổ phiếu B sẽ nhận được số tiền chi trả cổ tức là:

(đồng)

Do đó cô Hạnh nhận được số tiền chi trả cổ tức là: (đồng)

Vì vậy, yêu cầu của cô Hạnh có thể viết ở dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Giải:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( là các số thực):

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi thoả mãn hệ bất phương trình

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Miền nghiệm là miền tứ giác với toạ độ các đỉnh

(Hình 2).

Giải:

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của tứ giác này:

Bước 3. Ta đã biết biểu thức đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực là toạ độ một trong các đỉnh của tứ giác .

So sánh bốn giá trị thu được của ở Bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là

Bước 4. Vì và đều là số tự nhiên nên cặp số là nghiệm của bài toán

Vậy cô Hạnh cần mua cổ phiếu A và cổ phiếu B để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Bài toán 3.

Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu K, P để sản xuất ít nhất 72 kg sản phẩm loại I và 80 kg sản phẩm loại II. Từ mỗi tấn nguyên liệu K giá 4 triệu đồng, có thể sản xuất được 24 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II. Từ mỗi tấn nguyên liệu P giá 3 triệu đồng, có thể sản xuất được 36 kg sản phẩm loại I và 20 kg sản phẩm loại II. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất?

Giải:

Gọi lần lượt là số tấn nguyên liệu K, P sử dụng.

Khi đó, ta sản xuất được (kg) sản phẩm loại I và (kg) sản phẩm loại II.

Theo giả thiết, và phải thoả mãn các điều kiện:

hay hay

Tổng số tiền cần mua nguyên liệu là .

Bài toán đưa về: Tìm là nghiệm của hệ bất phương trình:

sao cho có giá trị nhỏ nhất.

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình phẳng giới hạn bởi tia , các cạnh và ,

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức

Bước 3. Ta thừa nhận biểu thức có giá trị nhỏ nhất tại một trong

So sánh ba giá trị thu được của ở Bước 2, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là

nguyên liệu P và khi đó chi phí là 9 triệu đồng.

Chú ý:

Với những bài toán tương tự như Bài toán 3, ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức như sau:

• Xác định toạ độ các “đỉnh” của miền nghiệm .

• Tính giá trị của biểu thức tại các “đỉnh” đó của miền nghiệm

• Ta thừa nhận rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp số thực là toạ độ một trong các “đỉnh” đó của miền nghiệm

Luyện tập 3

Một kho hàng có hai loại hàng hoá A và B. Người ta dùng hai loại xe tải để chở hàng từ kho đó. Mỗi chiếc xe tải loại thứ nhất chi phí hết 6 triệu đồng chở được 4 tấn hàng hoá A và 3 tấn hàng hoá B. Mỗi chiếc xe tải loại thứ hai chi phí hết 4 triệu đồng chở được 3 tấn hàng hoá A và 2 tấn hàng hoá B. Người ta cần chuyển đi từ kho đó ít nhất 21 tấn hàng hoá A và 15 tấn hàng hoá B. Hỏi phải dùng bao nhiêu xe tải mỗi loại để chi phí vận chuyển là ít nhất?

Giải:

Gọi là số xe tải loại thứ nhất và là số xe tải loại thứ hai cần dùng .

Chi phí vận chuyển là (triệu đồng).

Số tấn hàng hóa A chở được là (tấn).

Số tấn hàng hóa B chở được là (tấn).

Theo giả thiết, và cần thỏa mãn các điều kiện:

;

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Giải:

Xét hệ bất phương trình bậc nhật hai ẩn ( là các số thực):

Bài toán đưa về: Tìm là nghiệm của hệ bất phương trình:

sao cho có giá trị nhỏ nhất và .

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là hình phẳng giới hạn bởi tia , các cạnh và , tia kể cả biên với (hình vẽ).

Giải:

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của miền nghiệm

Bước 3. Ta thừa nhận biểu thức có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm .

So sánh ba giá trị thu được của ở bước 2, kết hợp với điều kiện và là số tự nhiên, ta được giá trị nhỏ nhất cần tìm là .

Vậy phải dùng 3 xe tải mỗi loại để chi phí vận chuyển là ít nhất.

------------------------------

----------------- Còn tiếp ------------------