CHƯƠNG 8: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 4: KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

(40 câu)

1. NHẬN BIẾT ( 17 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tam giác với vuông góc với và Diện tích tam giác bằng . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Kẻ vuông góc với  

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH 

Dựa vào tam giác vuông ta có  

Câu 2: Cho hình chóp trong đó đôi một vuông góc và Khoảng cách giữa hai điểm nhận giá trị nào trong các giá trị sau ?

Hướng dẫn giải:

Do nên

Như vậy  

Câu 3: Cho hình chóp có cạnh là tam giác đều cạnh bằng Biết và là trung điểm của Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng

Hướng dẫn giải:

Do đều cạnh nên đường cao

Câu 4: Trong mặt phẳng cho tam giác đều cạnh . Trên tia vuông góc với mặt phẳng lấy điểm sao cho . Khoảng cách từ đến bằng

Hướng dẫn giải:

• Gọi là trung điểm của ; là hình chiếu vuông góc của trên
• Ta có và nên

Mà , do đó .

Vậy  

Câu 5: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng

Hướng dẫn giải:

Dựng .

Vì là tam giác đều cạnh và là trung điểm của nên dễ tính được .

Xét vuông tại có là đường cao, ta có:

.

Câu 6: Cho hình chóp đáy là hình chữ nhật. Biết Khoảng cách từ đến bằng:

Hướng dẫn giải:

nên .

Suy ra Trong kẻ vuông góc tại . Khi đó  

.

Câu 7: Hình chóp đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng Khoảng cách từ S đến bằng :

Hướng dẫn giải:

Gọi là chân đường cao của hình chóp. 

Ta có

Câu 8: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách từ đến nhận giá trị nào 

Hướng dẫn giải:

 Khoảng cách từ đến :  

Câu 9: Cho hình chóp trong đó , , vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , . Khoảng cách từ đến bằng:

Hướng dẫn giải:

Kẻ . 

Ta có: .

Suy ra .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Câu 10:  Cho hình chóp có , đáy là hình chữ nhật. Biết , . Khoảng cách từ đến bằng:

Hướng dẫn giải:

Kẻ , mà vì nên .

Trong tam giác vuông ta có: 

.

Câu 11: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Khoảng cách từ đến bằng: 

Ta có: là trọng tâm tam giác . 

.

Câu 12: Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

Hướng dẫn giải:

Trong mặt phẳng kẻ  

Mà nên suy ra hai mặt phẳng và vuông góc nhau theo giao tuyến  

Trong mặt phẳng kẻ

Suy ra:  

Câu 13: Cho hình lập phương cạnh Khoảng cách từ đến bằng

Hướng dẫn giải:

Câu 14: Cho hình chóp có , đáy là hình thang vuông cạnh . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa đường thẳng và . 

Hướng dẫn giải:

Ta có: Vì // nên // .

Câu 15:  Cho hình thang vuông vuông ở và, . Trên đường thẳng vuông góc tại với lấy điểm với . Tính khỏang cách giữa đường thẳng và .

Hướng dẫn giải:

Vì // nên //

. 

Kẻ , do , nên suy ra .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Câu 16: Cho hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng. Gọi , , lần lượt là trung điểm của , , . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng và .

Hướng dẫn giải:

Ta có: //.

Câu 17: Cho hình lăng trụ tam giác có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng , đáy là tam giác đều và cách đều , , . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải:

Vì đều và là hình chóp đều.

Gọi là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm , .

.

2. THÔNG HIỂU (8 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có cạnh và là tam giác đều cạnh bằng . Biết và là trung điểm của . Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng:

Hướng dẫn giải:

Ta có: (Định lý 3 đường vuông góc) .

(vì tam giác BCD đều). 

Ta có: .

Câu 2: Cho hình chóp có , đáy là hình thoi cạnh bằng và . Biết . Tính khoảng cách từ đến .

Hướng dẫn giải:

Kẻ , khi đó . 

là hình thoi cạnh bằng và đều nên .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng và chiều cao bằng . Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến một mặt bên: 

Hướng dẫn giải:

, với là trọng tâm của tam giác . là trung điểm của .

Kẻ , ta có

nên suy ra .

Ta có:  

.

Câu 4: Cho hình lập phương cạnh Khoảng cách từ đến bằng

Hướng dẫn giải: 

Ta có:  

Nên tứ diện là tứ diện đều.

Gọi là trung điểm , là trọng tâm tam giác .

Khi đó ta có:  

Vì tam giác đều nên . 

Theo tính chất trọng tâm ta có: .

Trong tam giác vuông có: . 

Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng và đường cao Khoảng cách từ điểm đến cạnh bên bằng

 Hướng dẫn giải:

Vì hình chóp đều có là đường cao là tâm của 

Gọi là trung điểm cạnh .

Tam giác đều nên .

Kẻ .. Xét tam giác vuông tại : 

.

Câu 6: Cho hình lập phương cạnh bằng Gọi là trung điểm của Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Gọi là trung điểm cạnh và

Khi đó ta chứng minh được  

suy ra

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng:

Hướng dẫn giải:

• Gọi là trọng tâm tam giác . Do là chóp đều nên .
• vuông tại

Câu 8: Cho hình chóp có đường cao . Gọi lần lượt là trung điểm của và Khoảng cách giữa đường thẳng và bằng

Hướng dẫn giải:

Do

Lại có  

3. VẬN DỤNG ( 12 câu)

Câu 1: Cho tứ diện trong đó, , vuông góc với nhau từng đôi một và, ,. Khoảng cách từ đến đường thẳng bằng:

Hướng dẫn giải:

+ Dựng .

+ , cắt cùng nằm trong .

.

Xét trong vuông tại có là đường cao ta có:

.

+ Ta dễ chứng minh được vuông tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong vuông tại ta có:

.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại với Mặt bên chứa của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng đáy .

Hướng dẫn giải: 

Gọi là hình chiếu của lên , vì mặt bên vuông góc với nên  

Dựng , theo đề bài ta có .

Do đó tam giác (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra .

Lại có  

 Vậy trùng với trung điểm của . Từ đó ta có là đường trung bình của tam giác nên .

Tam giác vuông tại và có vuông cân.

Do đó: . 

Câu 3: Cho hình chóp có mặt đáy là hình thoi tâm cạnh và góc đường cao Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .

Hướng dẫn giải:

Vì hình thoi có bằng  

Suy ra tam giác đều cạnh .

Kẻ đường cao của tam giác  

.

Kẻ tại .

Kẻ

Xét tam giác vuông ta có:

.

Câu 4: Cho hình chóp có mặt đáy là hình chữ nhật với Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là điểm thuộc cạnh sao cho Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Khoảng từ điểm đến mặt phẳng tính theo bằng

Hướng dẫn giải:

Kẻ  

góc giữa hai mặt phẳng và

 là  

Có ,  

Có , 

Kẻ , mà  

Mà .

Câu 5: Cho hình chóp có mặt đáy là hình thoi cạnh . Hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt phẳng là trọng tâm của tam giác Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính theo bằng

Hướng dẫn giải:

Xác định khoảng cách:

- Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc nên tam giác đều cạnh

Tam giác vuông ở , có đường cao nên ;

Xét hình chóp có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên .

- Dựng hình chiếu của lên mặt phẳng : Kẻ đường cao của tam giác với O là tâm 

của hình thoi.

. Vậy  

- Tính độ dài

Với ; ;

.

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là hình vuông, và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng

Hướng dẫn giải:

+ Đặc điểm của hình: Đáy là hình vuông nên .

Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng là góc .Vậy tam giác vuông cân tại . 

- Xác định khoảng cách: . Với là chân đường cao của tam giác .

- Tính : . 

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh Hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh góc giữa hai mặt phẳng bằng Khoảng cách từ đến mặt phẳng tính theo bằng

Hướng dẫn giải:

- Đặc điểm của hình: Góc giữa hai mặt phẳng là .

- Xác định khoảng cách: . Với là đường cao của tam giác với là trung điểm . 

- Tính . 

Xét tam giác vuông có  

. 

Câu 8: Cho hình lập phương cạnh Khoảng cách giữa bằng :

Hướng dẫn giải:

Ta có

Gọi là tâm của hình vuông . Gọi là hình 

Chiếu của trên , suy ra là hình chiếu của

trên .

Câu 9: Cho hình lập phương có cạnh bằng Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng

Hướng dẫn giải:

Vì nên ta có:

.

Vì và nên 

là hình chóp tam giác đều.

Gọi là trung điểm là trọng tâm tam giác .

Khi đó ta có:  

Vì tam giác đều nên . 

Theo tính chất trọng tâm ta có: .

Trong tam giác vuông có:

.

Câu 10: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Tính khoảng cách giữa và . 

Hướng dẫn giải:

Gọi , lần lượt là trung điểm của và . 

Khi đó nên tam giác cân, suy ra . Chứng minh tương tự ta có , nên .

Ta có: (p là nửa chu vi).

.

Mặt khác: .

Câu 11: Cho tứ diện đều có cạnh bằng . Khoảng cách giữa hai cạnh đối và bằng

Hướng dẫn giải:

Gọi , lần lượt là trung điểm của và . 

Khi đó nên tam giác cân, suy ra . Chứng minh tương tự ta có , nên .

Ta có: (p là nửa chu vi).

.

Mặt khác: .

Câu 12: Cho hai tam giác đều và cạnh nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng

 Hướng dẫn giải:

Gọi lần lượt là trung điểm của .

và hai tam giác và đều nên

và suy ra là đoạn vuông góc chung 

Của hai đường thẳng .

Vì tam giác vuông tại và là trung điểm của  

Nên .

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác Cạnh bên tạo với mặt phẳng một góc bằng Khoảng cách từ tới mặt phẳng tính theo bằng

Hướng dẫn giải:

Đặc điểm hình: Góc giữa tạo với mặt phẳng là ;

Xác định khoảng cách

Tính :

. Vậy.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm với . Biết chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy trùng với trung điểm đoạn hợp với mặt phẳng đáy một góc Khoảng cách từ đến tính theo bằng

Hướng dẫn giải:

Đặc điểm của hình: Góc giữa tạo với mặt phẳng là ;

Xác định khoảng cách: 

Tính khoảng cách :

, vậy 

Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, vuông góc với mặt phẳng tạo với mặt phẳng một góc Gọi là một điểm trên cạnh sao cho Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là

Đặc điểm của hình: tạo với mặt phẳng góc ; ; ; ; ;

Xác định khoảng cách:

Tính

Vậy