Bài tập file word toán 11 kết nối Ôn tập Chương 7 (P4)

ÔN TẬP CHƯƠNG 7. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 4)

Bài 1: Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D; AD = 2a. Trên đường thẳng vuông góc tại D với (ABCD) lấy điểm S với SD = a√2. Tính khỏang cách giữa đường thẳng CD và (SAB).

Trả lời:

Vì DC // AB nên DC // (SAB)

⇒ d(DC; (SAB)) = d(D; (SAB))

Kẻ DH ⊥ SA

Do AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)

⇒ DH ⊥ AB lại có DH ⊥ SA

⇒ DH ⊥ (SAB)

Nên d(CD; (SAB)) = DH.

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và ∠BAD = 60° và SO = 3a/4. Biết SA = SC và SB = SD. Hỏi khoảng cách giữa SA và BD bằng bao nhiêu ?

Trả lời:

+ Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S  + Vì SA = SC nên tam giác SAC cân tại S ⇒ SO ⊥ AC

Vì SB = SD nên tam giác SBD cân tại S ⇒ SO ⊥ BD.

+ Ta có: + Ta có:

Trong mp(SAC) , kẻ OH ⊥ SA (H ∈ SA). Ta chứng minh OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Ta có: OH ⊥ SA (cách dựng) và OH ⊥BD ( vì BD⊥( SAC)

⇒ OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD. Do đó: d(SA; DB) = OH.

Ta có: Tam giác ABD cân tại A có góc A bằng 60° nên tam giác ABD đều cạnh a.

+ Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có: + Tam giác SOA vuông tại O, có OH là đường cao, ta có:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC?

Trả lời:

Ta tìm đoạn vuông góc chung của SD và BC:

+ Ta chứng minh CD  + Ta chứng minh CD ⊥ (SAD) :

Do CD ⊥ AD (vì ABCD là hình chữ nhật), và CD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

⇒ CD ⊥ (SAD)

Mà SD ⊂ (SAD) nên CD ⊥ SD     (1)

+ Lại có: CD  + Lại có: CD ⊥ BC (vì ABCD là hình chữ nhật)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

⇒ d(SD; BC) = CD

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC có:

AB² = AC² - BC² = 5a² - 2a² = 3a²

⇒ AB = CD = √3a

⇒ d(SD; BC) = CD = √3a

Bài 4: Cho tứ diện  có là tam giác vuông tại  và . Gọi  là đường cao của tam giác . Chứng minh .

Trả lời:

Ta có

Vậy

Bài 5: Cho hình chóp  có  và  Số các mặt của tứ diện  là tam giác vuông là bao nhiêu?

Trả lời:

Có  là tam giác vuông tại

Ta có  là các tam giác vuông tại  

Mặt khác  là tam giác vuông tại

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông

Bài 6: Cho hình chóp  có đáy  là hình thoi tâm . Biết  và .  có vuông góc với  hay không?

Trả lời:

Tam giác  cân tại  có  là trung tuyến

 cũng là đường cao .

Tam giác  cân tại  có  là trung tuyến

  cũng là đường cao .

Từ đó suy ra .

Do  là hình thoi nên  không vuông góc với . Do đó  không vuông góc với .

Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, C’D’.

Xác định góc giữa hai đường thẳng MN và AP.

Trả lời:

Dễ thấy MN là đường trung bình trong tam giác ABC nên MN//AC

Lại có AC = , CP=

AP =

Do đó cos

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA, BC. Tính số đo góc hợp bởi IJ và SB.

Trả lời:

Gọi M là trung điểm AB thì MI, MJ lần lượt là đường trung bình của tam giác ASB và ABC.

Ta có

Mặt khác JA=JS=

Khi đó IJ =

Trả lời:

Trong không gian cho tam giác đều  và hình vuông  cạnh  nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi ,  lần lượt là trung điểm của , . Ta có  của góc tạo bởi hai mặt phẳng  và  bằng?

Trả lời:

Ta có:

Gọi  với

Do đó:

Mặt khác: ; mà

Vì  là trung điểm của   (vì )

 (theo định lí ba đường vuông góc)

Do đó:  là góc giữa  và  

Mà là đường cao trong đều cạnh

Xét  vuông tại có: .

Bài 10: Cho hình chóp  trong đó , ,  vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Khoảng cách từ  đến  bằng?

Trả lời:

Vì , ,  vuông góc với nhau từng đôi một nên .

Kẻ , khi đó .

Ta có: .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Bài 11: Cho tứ diện  có cạnh bên  vuông góc với mặt phẳng  và  là tam giác đều cạnh bằng  Biết  và  là trung điểm của  Khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng  bằng?

Trả lời:

Nối . Kẻ

Suy ra  

Xét có

.

Bài 12: Cho hình chóp  có đáy là hình thang vuông tại  và , , . Hình chiếu của  lên mặt phẳng trùng với trung điểm cạnh . Biết rằng. Tính theo  thể tích  của khối chóp .

Trả lời:

Gọi  là trung điểm . Ta có:

 suy ra .

Nên

 .

Bài 13: Cho hình lập phương . Tính góc  là góc giữa hai mặt phẳng  và .

Trả lời:

 là góc giữa hai mặt phẳng  và  là  

Ta có  

Bài 14: Cho hình chóp tứ giác đều  có. Tính cos góc giữa  và  .

Trả lời:

Gọi độ dài cạnh của hình chóp đều  là . Gọi  là trung điểm của  ta có  (vì tam giác  đều) và  (vì tam giác  đều). Vậy, góc giữa hai mặt phẳng  và  chính là góc .

Ta có :  (đường chéo hình vuông),  (đường cao tam giác đều)

Áp dụng định lý cosin cho góc  trong tam giác  ta có :

Bài 15: Cho hình hộp chữ nhật  có ,. Gọi  là góc giữa đường chéo  và đáy. Tính .

Trả lời:

Từ giả thiết ta suy ra:  là hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng .

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác  vuông tại  ta có:

.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác  vuông tại  ta có:

.

Bài 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi  là góc giữa AC’ và (A’BCD’. Chọn khẳng định đúng:

Trả lời:

Gọi   

là hình chiếu vuông góc của AC’ lên (A’BCD’ 

 là góc giữa AC’ lên (A’BCD’)

Mà  

Bài 17:  Cho hình chóp đều, đáy có cạnh bằng  và có tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của ,. Biết góc giữa và bằng . Tính góc giữa và .

Trả lời:

Gọi là trung điểm của là đường trung bình của

 Góc giữa và  bằng góc .

Áp dụng định lý cosin cho  ta có:

Trong tam giác vuông ta có :

 và .

Gọi là trung điểm .

Mà  do đó .

Ta có : ,  (tính trên)

Vậy trong ta có: . Nên nếu gọi là góc giữa  và thì:  hay .

Bài 18: Cho hình chóp đáy là hình vuông, cạnh bên  vuông góc với đáy, . Tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng .   

Trả lời:

Gọi  là hình chiếu của  lên   (vì góc  tù nên  nằm ngoài ). Ta có: .

Ta có:

.

.

Bài 19: Cho hình chóp  có đáy  là tam giác đều cạnh  và . Gọi  là trọng tâm . Tính độ dài

Trả lời:

Theo bài ra hình chóp là hình chóp tam giác đều. Gọi  là trung điểm của , ta có .

Mặt khác ta có:   

Bài 20: Cho hình chóp  thỏa mãn . Gọi  là hình chiếu vuông góc của  lên . Tìm vị trí của H.

Trả lời:

Do hình chóp  có và  nên  là trục của hình chóp .

. Nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .