CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE. 

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP

BÀI 5: HÌNH CHỮ NHẬT – HÌNH VUÔNG

(16 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AECH là hình gì?

Giải

Xét tứ giác AECH có

  I là trung điểm của AC (gt); 

I là trung điểm của HE (do H và E đối xứng nhau qua I)

Do đó AECH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Lại có AHC = 90o nên AECH là hình chữ nhật (dhnb)

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, trung tuyến AM. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Tứ giác ADHE là hình gì?

Giải

Ta có ∆ABC vuông tại A A = 90o

D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC 

AEH = 90o; ADH = 90o

Tứ giác ADHE có 

A = 90o

AEH = 90o

ADH = 90o

ADHE là hình chữ nhật.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P là điểm đối xứng của M qua G, gọi Q là điểm đối xứng của N qua G. Tứ giác MNPQ là hình gì?

Giải

∆ ABC cân tại A AC = AB (1)

BM, CN là đường trung tuyến M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB (2)

AM = MC = AB2; AN = NB = AC2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM = MC = AN = NB

Xét ∆ AMB và ∆ ANC có 

AB = AC

A chung

AM = AN

∆ AMB = ∆ ANC (g – c – g)

MB = NC 

Có P là điểm đối xứng của M qua G GM = GP 

Q là điểm đối xứng của N qua G GN = GQ

  MP = NQ

Xét hình tứ giác MNPQ có

GM = GP

GN = GQ

MNPQ là hình bình hành (vì G là trung điểm của hai đường chéo MN và PQ)

Có MP = NQ nên MNPQ là hình chữ nhật

Bài 4: Cho hình vuông ABCD có AC = 102cm . Tính diện tích hình vuông?

Giải

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a.

Suy ra: AB = BC = CD = D = a

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2  (102 )2 = a2 + a2 200 = 2a2 a2 = 100 a = 10

Do đó, diện tích hình vuông đã cho là: S = a2 = 100 cm2

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD  có AB = 2AD . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tứ giác ADFE  là hình gì? Vì sao?

Giải

ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = DC

Có AB = 2AD AD = AB2

E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

AE = EB = AB2; DF = FC = DC2

Xét tứ giác ADFE có 

AE = AD = DF = FE (= AB2 )

AE // DF (AB // DC)

ADEF là hình thoi

mà EAD = 90o (ABCD là hình chữ nhật)

ADEF là hình vuông

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), trung tuyến AM. E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng AEMF là hình chữ nhật.

Giải

Xét ∆ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến

AM = CM = BM

Xét ∆ AMC có AM = MC ∆ AMC cân tại M

Có F là trung điểm điểm của AC nên MF là đường trung tuyến

MF là đường cao MF AC

Xét ∆ AMB có AM = MB ∆ AMB cân tại M

Có E là trung điểm điểm của AB nên ME là đường trung tuyến

ME là đường cao ME AB

Xét tứ giác AEMF có

MFA = 90o (MF AC)

FAE = 90o (∆ABC vuông tại A)

AEM = 90o (ME AB)

AEMF là hình chữ nhật

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại M và N. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của BC và MN. Chứng minh rằng tứ giác AKDH là hình chữ nhật.

Giải

∆ABC cân tại A, AH là đường trung tuyến nên cũng là đường cao, đường phân giác. 

Do đó H1 = 90o và A1 = A2

Ta có AH // DN (vì cùng vuông góc với BC) 

N = A1 (cặp góc đồng vị); M1 = A2 (cặp góc so le trong).

Do đó N = M1 (vì A1 = A2 )

Vậy ∆AMN cân tại A mà AK là đường trung tuyến nên AK cũng là đường cao, K = 90o

Tứ giác AKDH  có K = D = H 90o nên tứ giác AKDH là hình chữ nhật.

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo, điểm E thuộc cạnh CD. Đường vuông góc với AE tại A cắt BC ở F. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng OM là đường trung trực của AC.

Giải 

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên (1).

Xét ∆AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến

AM = EM = MF

Xét ∆CEF vuông tại C có CM là đường trung tuyến

CM = EM = MF

AM = CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AC.

Bài 4: Cho hình vuông ABCD . Trên cạnh AB, BC, CD, DA, lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Chứng minh EFGH là hình vuông.

Giải 

Vì ABCD là hình vuông AB = BC = DC = AD

Có AE = BF = CG = DH

AH = BE = CF = DG (1)

Xét ∆AEH và ∆BFE có

AE = BF (gt)

A = B (= 90o)

AH = BE (cmt)

∆AEH = ∆BFE (c – g – c) EH = FE

Tương tự ∆AEH = ∆CGF (c – g – c) EH = GF

                ∆AEH = ∆DHG (c – g – c) EH = HG

EH = FE = GF = HG

Mặt khác, vì ∆AEH = ∆BFE AHE = BEF

Suy ra AHE + BEF = 90o FEH = 90o (2).

Từ (1), (2) suy ra EFGH là hình vuông.

Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD  có AB = 2AD . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Tứ giác EMFN là hình gì? Vì sao?

Giải

ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = DC

Có AB = 2AD AD = AB2

E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

AE = EB = AB2; DF = FC = DC2

Xét tứ giác ADFE có 

AE = AD = DF = FE (= AB2 )

AE // DF (AB // DC)

ADEF là hình thoi

mà EAD = 90o (ABCD là hình chữ nhật)

ADEF là hình vuông

ME = MF; EMF = 90o ∆EMF vuông cân tại M MEF = 45o (1)

Tương tự BCFE là hình vuông

NE = NF; ENF = 90o ∆ENF vuông cân tại N NEF = 45o (2)

Từ (1) và (2) suy ra NEM = 90o

Xét tứ giác EMFN có

ME = MF

EMF = 90o

ENF = 90o

NEM = 90o

EMFN là hình vuông

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Biết AD = 12AC và BAC = 12 DAC. Chứng minh rằng hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Giải 

Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có OA = OC .

Vì AD = 12AC nên AD = AO. 

Vẽ AH ⊥ OD, OK ⊥ AB.

Xét ΔAOD cân tại A, AH là đường cao 

⇒ AH cũng là đường trung tuyến, cũng là đường phân giác.

Do đó HO = HD và A1 = A2 

Vì BAC = 12 DAC nên A1 = A2 = A3

 ∆AOK = ∆AOH (cạnh huyền, góc nhọn)

OK = OH = 12 OD OK = 12 OB B1 = 30o

Xét ΔABH vuông tại H có B1 = 30o nên HAB = 60o suy ra DAB = 90o

Hình bình hành ABCD có một góc vuông nên là hình chữ nhật.

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên tia đối của tia CB và DA lấy lần lượt hai điểm E và F sao cho CE = DF = CD . Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho CH = CB . Chứng minh rằng:

1. a) Tứ giác CEFD  là hình chữ nhật.
2. b) AE

Giải

1. a) Theo giả thiết,  DE = CF và DE // EF suy ra tứ giác CDEF là hình bình hành.

Mặt khác, CDF = 90o . Vậy CDEF là hình chữ nhật.

1. b) Ta có AF = AD + DF = CH + CD = DH

Xét ∆AFE và ∆HDF có

AF = HD

AFE = HDF = 90o

  FE = DF 

Do đó ∆AFE = ∆HDF (c – g – c)

FAE = DHF

Mặt khác DHF + DFH = 90o FAE + DFH = 90o

 . Vậy AE FH

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD(AD < AB < 2AD). Vẽ các tam giác vuông cân ABI , CDK (I = K = 90o), I và K nằm trong hình chữ nhật. Gọi E là giao điểm của AI và DK, F là giao điểm của BI và CK. Chứng minh rằng:

1. a) EF song song với CD.
2. b) EKFI  là hình vuông. 

Giải 

1. a) Tam giác KCD cân tại K nên KD = KC (1).

∆EAD = ∆FBC(g.c.g) nên DE = CF (2).

Từ (1) và (2) suy ra: KD – DE = KC – CF KE = KF

Tam giác vuông KEF có KE = KF nên E1 = 45o 

Ta lại có: D2 = 45o EF // CD (2 góc đồng vị bằng nhau).

1. b) Tam giác EAD có  A1 = D2 = 45o nên AED = 90o

Tứ giác EKFI có E = K = I = 90o nên EKFI là hình chữ nhật.

Lại có KE = KF EKFI là hình vuông.

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A (A < 90o), các đường cao BD và CE. Kẻ đường vuông góc DH từ D đến BC. Đường thẳng đi qua H và song song với CE cắt DE ở K.

1. a) Gọi O là giao điểm của BD và HK. Chứng minh rằng .
2. b) Chứng minh rằng BKDH là hình chữ nhật.

Giải

1. a) Ta có: B1 phụ ACB, C1 phụ ABC, mà ACB = ABC nên B1 = C1 (1).

HK // CE nên H1 = C1 (đồng vị) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: B1 = H1 = C1, do đó ∆BOH cân tại O, suy ra OB = OH (3).

1. b) Ta có B1 phụ D1, H1 phụ H2, mà B1 = H1 (chứng minh trên) nên D1 = H2

Do đó ∆ODH cân tại O, suy ra OD = OH (4).

∆ABD = ∆ACE (cạnh huyền – góc nhọn) nên AD = AE. 

Các tam giác cân ADE và ABC có chung góc ở đỉnh A nên các góc ở đáy bằng nhau D3 = ACB DE // BC

Do đó D2 = B1, K1 = H1 (so le trong).

Ta lại có B1 = H1 (chứng minh trên) nên D2 = K1, suy ra OD = OK (5).

Từ (3), (4), (5) suy ra: OB = OH = OD = OK 

Tứ giác BKDH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = MA2 + MB2 + MC2 + MD2

Giải

ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD = 82+62 = 10

Ta đặt MA = x, MC = y

Xét ba điểm M, A, C ta có MA + MC AC

Do đó x + y 10 (x + y)2 100 hay x2 + y2 + 2xy 100 (1)

Mặt khác, (x – y)2 0 hay x2 + y2 – 2xy 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2(x2 + y2) 100

x2 + y2 50

Dấu “=” xảy ra M nằm giữa A và C và MA = MC M là trung điểm của AC

Chứng minh tương tự ta được MB2 + MD2 50 

Dấu “=” xảy ra M nằm giữa B và D và MB = MD M là trung điểm của BD

Vậy MA2 + MC2 + MB2 + MD2 100

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD 

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A (A < 90o), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC theo thứ tự tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB theo thứ tự tại Q và N. Chứng minh rằng MNPQ là hình vuông.

Giải

ABD = ACE (cùng phụ với A).

Ta có: ABC = ACB mà ABD = ACE (chứng minh trên)

ABC - ABD = ACB - ACE B3 = C3 

BH = CH

Tam giác OBC có B3 = C3, B2 = C2

Nên B3 + B2 = C3 + C2 OBC = OCB 

∆OBC cân tại O (1)

Mặt khác, vì C2 = B1 nên ta có:

B2 + B3 + C3 + C2 = B2 + B3 + C1 + C2 = 90o

BOC = 90o (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆OBC vuông cân.

Tam giác OBC cân tại O nên OB = OC (3).

∆BMH = ∆CQH (g.c.g) BM = CQ (4).

Từ (3) và (4) suy ra: OB – BM = OC – CQ OM = OQ

Mà ∆BNQ cân tại B có đường cao BO cũng là đường trung tuyến nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.

Tương tự ta có OP = OM

OM = ON = OQ = OP MNPQ là hình thoi

Ta lại có: MP NQ nên MNPQ là hình vuông