CHƯƠNG 7: ĐỊNH LÍ THALÈS

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 7

(26 câu)

1. NHẬN BIẾT (11 CÂU)

Câu 1: Cho tam giác , các trung tuyến cắt nhau tại .

1. a) Tính b) Tính
2. b) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với và .

Giải  

1. a) Có là trung điểm của (vì là trung tuyến)(tính chất trung điểm của đoạn thẳng)
2. b) có các trung tuyến cắt nhau tại

là trọng tâm

( là trọng tâm )

1. c) là trọng tâm

và là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với và .

và là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với và .

Câu 2:  Cho đoạn thẳng , là một điểm trên đoạn . Tính các tỉ số và nếu:

Giải  

1. a)
2. b) Có
3. c)

Câu 3:  Cho góc . Trên tia , lấy theo thứ tự điểm sao cho Trên tia , lấy điểm với . Từ , kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Tính độ dài .

Giải  

Xét có: (gt) 

(định lí Ta-let trong tam giác)

Câu 4:  Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K. Chứng minh:

1. a) b)

Câu 5:  Tam giác ABC có đường cao AH. Đường thẳng d song song  với BC cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH lần lượt  tại B’, C’ và H’.

1. Chứng minh rằng   

Áp dụng: Cho biết và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2. Hãy tính diện tích tam giác .

Giải  

1. a)

Từ  

Do đó  

1. b) Ta có:

Ta chứng minh

Từ (1), (2), (3) ta có (đpcm)

Câu 6: Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK (M thuộc AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC.

Giải  

Từ và ta suy ra  

và .

Do đó ⇒ .

Câu 7:  (Định lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R. Chứng minh nếu AP, BQ, CR đồng quy thì  

Giải  

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR lần lượt tại N và M.

Ta chứng minh được: (1)

; (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra (đpcm)

Câu 8:   Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE.

1. a) Chứng minh rằng HK song song với DE.
2. b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10.

Giải  

1. a) cân tại B, đường cao BH nên BH đồng thời là đường trung tuyến nên

Tương tự   nên HK là đường trung bình của nên ;  

1. b) (vì cm ) 

Câu 9:  Cho tam giác có các đường phân giác và cắt nhau ở  

1. a) Tính các độ dài
2. b) Tính các độ dài

Giải  

1. a) Theo tính chất đường phân giác:

Do đó,  

1. b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác:

Do đó,  

Câu 10:  Cho tam giác cân có Đường phân giác góc cắt tại đường phân giác góc cắt tại Chứng minh //  

Giải  

là phân giác của nên  

là phân giác của nên  

Lại có:  

Suy ra: //  

2. THÔNG HIỂU (6 CÂU)

Câu 1:  Cho tứ giác ABCD. Qua kẻ đường thẳng song song với DC cắt AC ở G. Qua G kẻ đường thẳng song song với CB cắt AB tại H. Chứng minh rằng:

1. a)
2. b) Qua B kẻ đường thẳng song song với CD, cắt đường thẳng Ac tại I. Qua C kẻ đường thẳng song song với BA, cắt BD tại F. Chứng minh .

Giải 

a)

1. b) Gọi O là giao điểm của AC và BD

Câu 2:  Cho hình thang ABCD M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.

1. a) Chứng minh
2. b) Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh rằng

Giải  

1. a)
2. b) Ta có:

Tương tự . Do đó .

Câu 3:  Cho có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D.

1. a) Nếu Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM.
2. b) Nếu I là trung điểm của AM. Khi đó hãy chứng minh
3. c) Nếu Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho Chứng minh BD, CE, AM đồng quy.

Giải  

1. a) Khi

Gọi N là trung điểm của DC, khi đó MN là đường trung bình của

có và  

1. b) Khi . Kẻ . Xét ta có và nên .

Xét có nên . Vậy và dễ dàng chỉ ra

1. c) Khi

Ta có I là giao điểm của BD và AM

 Gọi F là trung điểm của BE.  Ta có là đường trung bình của  

thì (theo câu a) nên là đường trung bình của  

Có và nên E, I, C thẳng hàng hay EC đi qua điểm I

Câu 4:  Dùng tính chất đường trung bình của tam giác chứng minh trong tam giác vuông đường  trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

Giải 

Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho . Khi đó   cân tại   nên  

AM là đường trung bình của

Câu 5: Cho có , , là các đường phân giác.  Chứng minh rằng: .

Giải 

Xét , áp dụng tính chất đường phân giác ta có: 

  (1)

  (2)

  (3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được:.

Câu 6:  Cho hình bình hành ABCD. Phân giác của và cắt các đường chéo BD và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh: MN song song với AD.

Giải  

Gọi O là giao điểm của BD và AC.

Xét tam giác ABD, phân giác AM, ta có:  

Tương tự, ;

Mà , suy ra  

Từ đó, ta có:

Suy ra  

3. VẬN DỤNG (7 CÂU)

Câu 1:  Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh  

Giải  

Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: (1)

Kẻ (G ∈ AB), ta được G là trung điểm của AB. Áp dụng định lý Ta-lét trong , ta có:   (2)

Tương tự với và , ta có:

  (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra  

Câu 2:  Cho . Từ trên cạnh , kẻ đường thẳng song song với cắt tại . Trên tia đối của tia , lấy điểm sao cho Gọi là giao điểm của và . Chứng minh  

Giải  

Xét có: 

(định lí Ta-let trong tam giác) 

Xét có: (vì )

(định lí Ta-let trong tam giác) 

Mà (gt) nên từ , và

Câu 3:  Cho có AD là trung tuyến. Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh :

1. a)
2. b) là hình hình hành

Giải  

1. a)

mà (gt)

(đpcm)

1. b) (cmt) 

Mà  

là hình bình hành

Câu 4: Cho tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, DB. Đường thẳng EF lần lượt cắt AB, CD tại H,K. Chứng minh rằng:

Giải  

E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD

Gọi M là trung điểm của BC

Nên EM là đường trung bình của

và   

Và FM là đường trung bình của

và

Mà nên cân

(kề bù)

Câu 5:  Hình thang cân có  cm, cm, cm. Tính khoảng cách từ trung điểm I của BD đến cạnh CD.

Giải 

Kẻ . 

Ta có: (cm).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào , ta có:  

cm.

Tam giác BDH có và nên IK là đường trung bình. 

(cm).

Câu 6:  Cho , trung tuyến , đường phân giác của cắt ở , đường phân giác của cắt ở .

1. a) Chứng minh rằng .
2. b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh rằng
3. c) Tính , biết
4. d) phải thêm điều kiện gì để ta có
5. e) Chứng minh rằng cân nếu biết .

Giải  

Câu 7:   

1. a) Ta có

(do là phân giác của )

(do là phân giác của )

Mà (là trung điểm của )

1. b) Xét và lần lượt có và .

Mà

1. c) Ta có: . Mà (do )

Ta lại có:( do )

(do )

1. d) Để ta cần tứ giác là hình chữ nhật 

Hay

Khi thì (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

cân tại

(đường phân giác của tam giác cân đồng thời là đường cao

Mà . Suy ra . Suy ra tứ giác là hình chữ nhật

Vậy vuông tại thì .

1. e) Khi thì cân tại có là trung tuyến () nên đồng thời là đường cao

Mà (cmt) nên

có vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên là tam giác cân.

4. VẬN DỤNG CAO (2 CÂU)

Câu 1:  Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH, lấy các điểm K, I sao cho . Qua I, K  lần lượt vẽ các đường thẳng , ( E, M AB, F, N AC).

1. a) Tính và .
2. b) Cho biết diện tích của tam giác ABC là 90 cm2. Tính diện tích tứ giác .

Giải  

1.  +)        

+)        

1. b) có và . Do đó là hình thang có 2 đáy MN, FE, chiều cao KI. 

Câu 2:  Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AC. Gọi I là trung điểm HK. Chứng minh rằng: 

Giải  

Gọi J là trung điểm của KC, ta có IJ là đường trung bình trong tam giác KHC. 

Do đó  

Trong tam giác AHJ có  . Từ đó, I là trực tâm tam giác AHJ.

AIHJ (1).

Trong tam giác BKC, HJ là đường trung bình, suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra