Bài tập file word Toán 8 chân trời sáng tạo Ôn tập Chương 3: Định lí Pythagore. Các loại tứ giác thường gặp (P1)

ÔN TẬP CHƯƠNG 3: ĐỊNH LÍ PYTHAGORE.

CÁC LOẠI TỨ GIÁC THƯỜNG GẶP (PHẦN 1)

Bài 1: Đoạn lên dốc từ C đến A dài 8,5m, độ dài CB bằng 7,5m. Tính chiều cao AB.

Trả lời:

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔABC ta có:

AB² + BC² = AC²

=> AB² = AC² - BC² = 8,5² - 7,5²

= 72,25 - 56,25 = 16

Vậy AB = 4(cm)

Bài 2: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau.

1. a) 9cm, 15cm, 12cm.
2. b) 5dm, 13dm, 12dm.
3. c) 7m, 7m, 10m.

Trả lời:

1. a) Ta có: 15²= 225 = 9²+ 12²= 81 + 144

Nên tam giác có độ dài 9cm, 12cm, 15cm là tam giác vuông

1. b) Tương tự là tam giác vuông (vì 5²+ 12²= 13²)
2. c) Không là tam giác vuông (vì 7²+ 7²< 10²)

Bài 3: Cho bài toán "ΔABC có AB = 8, AC = 17, BC = 15 có phải là tam giác vuông hay không? Bạn Tâm đã giải thích bài toán đó như sau:

AB² + AC² = 8² + 17² = 64 + 289 = 353

BC² = 15² = 225

Vì 353 ≠ 225 nên AB² + AC² ≠ BC²

Vậy ΔABC không phải là tam giác vuông."

Lời giải trên đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng

Trả lời:

Lời giải của bạn Tâm sai. Sửa lại như sau:

Ta có AC² = 17² = 289 = AB² + BC² = 8² + 15²

Vậy ΔABC là tam giác vuông.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính độ dài AC, BC.

Trả lời:

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔAHC ta có:

AC² = AH² + HC² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400

=> AC = 20 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔAHB ta có:

BH² = AB² - AH² = 13² - 12² = 169 -144 = 25

=> BH = 5cm

Do đó BC = BH + HC = 5 + 16 = 21 (cm)

Bài 5: Cho tứ giác ABCD trong đó  = 73⁰,  = 112⁰,  = 84⁰. Tính số đo góc C ?

Trả lời:

Xét tứ giác ABCD có:

          +  +  +  = 360^o (định lí)

Hay 73^o + 112^o +  + 84^o = 360^o

  = 360^o – 73^o – 112^o – 84^o = 91^o

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có  –  = 40^o. Xác định số đo góc A và B?

Trả lời:

Theo giả thiết ta có  –  = 40^o   = 40^o +

Mặt khác ABCD là hình bình hành nên  +  = 180^o

 40^o +  +  = 180^o

  2 = 140^o

   = 70^o

  = 70^o + 80^o = 150^o

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3 cm, AC = 4cm. Tính độ dài cạnh BC

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²

Vậy BC = 5 cm

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AC = 6 cm, BC = 12 cm. Tính độ dài cạnh AC

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC²  AB² = BC² – AC² = 12² – (6 )² = 36 = (6 )²

Vậy AB = 6 cm

Bài 9: Cho tam giác ABC cân, AB = AC = 17 cm. Kẻ BD vuông góc AC. Tính BC, biết BD = 15 cm.

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDA vuông tại D, ta có:

AB² = BD² + AD²  AD² = AB² – BD² = 17² – 15² = 64 = 8²  AD = 8 cm

Có AC = AD + DC  DC = AC – AD = 17 – 8 = 9 cm

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDC vuông tại D, ta có:

BC² = BD² + AC² = 15² + 9² = 306 = (3 )²   BC = 3  cm

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 20 cm; AC = 48 cm. Tính đường cao AH.

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 20² + 48² = 2704 = 52²  BC = 52 cm

Diện tích tam giác ABC là S =  .AB.AC = . AH. BC

1. AC = AH.BC AH =  =  =  cm

Bài 11: Số đo các góc của tứ giác ABCD theo tỷ lệ A:B:C:D = 4:3:2:1. Số đo các góc theo thứ tự đó là?

Trả lời:

Theo giả thiết ta có A:B:C:D = 4:3:2:1

  = 4;  = 3;  = 2

Khi đó ta có  +  +  +  = 360^o (định lí)

 4 + 3 + 2 +  = 360^o

 10 = 360^o

  = 36^o

Bài 12: Cho tứ giác ABCD. Tổng số đo các góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D

Trả lời:

Gọi góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D của tứ giác ABCD lần lượt là ; ; ;

Khi đó ta có

 +  = 180^o   = 180^o – ;

 +  = 180^o   = 180^o – ;

 +  = 180^o   = 180^o – ;

 +  = 180^o   = 180^o – ;

Suy ra

 +  +  +  = 180^o –  + 180^o –  + 180^o –  + 180^o –

                        = 720^o – ( +  +  + )

                        = 720^o – 360^o = 360^o

Vậy tổng số đo các góc ngoài tại 4 đỉnh A, B, C, D là 360^o.

Bài 13: Cho hình thang cân MNPQ (MN // PQ) có góc   = 45^o và hai đáy có độ dài 12cm, 40cm. Tính diện tích của hình thang cân.

Trả lời:

Kẻ MH ⊥ QP; NK ⊥ QP tại H, K ⇒ MH // NK

Tứ giác MNHK có MN // HK nên MNHK là hình thang, lại có MH // NK

⇒ MN = HK; MH = NK

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có

MQ = NP (vì MNPQ là hình thang cân) suy ra ΔMQH = ΔNKP (ch – cgv)

 QH = KP =

Mà HK = MN = 12 cm nên QH = KP =  = 14 cm

Mà   = 45^o  ⇒ ΔMHQ vuông cân tại H ⇒ MH = QH = 14 cm

Diện tích hình thang cân MNPQ là

S_MNPQ =  =  = 364 cm²

Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC.

1. a) Chứng minh IE = IF
2. b) Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = CN. Chứng minh tứ giác BMDC là hình thang cân

Trả lời:

1. a) Xét ΔMBE vuông tại E và ΔNCF vuông tại F có

MB=CN

 =  (=  )

Do đó: ΔMBE = ΔNCF (ch – gn)

Suy ra: ME = NF

Xét ΔMIE vuông tại E và ΔNIF vuông tại F có

ME = NF

 =  (đối đỉnh)

Do đó: ΔMIE = ΔNIF (cgv – gnk)

Suy ra: IE = IF

1. b) Do ABC cân tại A nên AB = AC, mà MB = DC (= CN) nên AM = AD

 AMD cân tại A   =

Xét ABC có  =

  =   MD // BC  MDCB là hình thang

Do  =  (ABC cân tại A)

 BMDC là hình thang cân (đpcm)

Bài 15:  Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và  +  = 180^o. Chứng minh rằng

1. a) Tia DB là phân giác góc D
2. b) Tứ giác ABCD là hình thang cân

Trả lời:

Trên tia DA lấy điểm E sao cho AE = CD.

Do  +  = 180^o (gt) suy ra  =  (cùng bù với )

Từ đây ta được BAE = BCD (c.g.c)

  = ; BE = BD  BDE cân tại B

  =    =

Vậy tia DB là phân giác góc D

1. b) Có AB = AD ABD cân tại A

  =    =  mà hai góc ở vị trí so le trong  AB // DC

  +  = 180^o

Mà  +  = 180^o (gt)

  = 

Vậy ABCD là hình thang cân

Bài 16: Cho hình thoi ABCD có  = 60^o. Kẻ AE ⊥ DC; AF ⊥ BC. Chứng minh tam giác AEF đều

Trả lời:

1. a) Vì ABCD là hình thoi nên = ; AD = AB

Lại có: AE  CD    = 90^o

          AF  BC    = 90^o

 Xét tam giác ADE và tam giác ABF có:

           =

          AD = AB

           =  = 90^o

=> ΔADE = ΔABF (cạnh huyền – góc nhọn)

=> AE = AF (hai cạnh tương ứng)

1. b) Xét ΔABF vuông tại F ta có: + +  = 180^o

                                                 90^o + 60^o +  = 180^o

                                                  = 30^o

Xét ΔADE vuông tại E ta có:  +  +  = 180^o

                                                 90^o + 60^o +  = 180^o

                                                  = 30^o

Ta có: ABCD là hình thoi nên AD // BC =>  +  = 180^o (hai góc trong cùng phía)

Nên  = 180^o –  = 180^o – 60^o = 120^o 

Lại có:  =  +  +  = 120^o 

         30^o +   + 30^o = 120^o

        = 60^o

Xét ΔAEF có:

AE = AF

 = 60^o 

Do đó: ΔAEF là tam giác đều.

Bài 17: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Đường chéo AC cắt BE, DF theo thứ tự ở K, I. Chứng minh AK = KI = IC

Trả lời:

Gọi O là giao điểm của AC, BD

Vì ABCD là hình bình hành nên AC, BD giao nhau tại trung điểm O mỗi đường, hay AO = CO = 

Xét tam giác ABD có BE, AO là đường trung tuyến cắt nhau tại K nên K là trọng tâm ΔABD.

Suy ra AK =  AO = .AC =  AC (1)

Xét tam giác CBD có DF, CO là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I nên I là trọng tâm ΔCBD.

Suy ra CI =  CO = .AC =  AC (2)

Lại có:

AK + KI + CI = AC

 KI = AC – AK – CI

          = AC –  AC –  AC

          =  AC (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AK = KI = IC

Bài 18: Cho hình bên dưới, cho biết AD vuông góc DC, DC vuông góc BC, AB = 13 cm, AC = 15 cm và DC = 12 cm. Tính độ dài đoạn thẳng BC

Trả lời:

Dựng AH  BC với H  BC.

Do AD // BC nên  =  (SLT)

Xét AHC và CDA có

 =  

AC chung

 =  = 90^o

Do đó AHC = CDA (cạnh huyền – góc nhọn)

 AH = CD = 12 cm

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ta có

+ Tam giác AHC vuông tại H có CH² = AC² – AH² = 15² – 12² = 81  CH = 9 cm

+ Tam giác AHB vuông tại H có BH² = AB² – AH² = 13² – 12² = 25  CH = 5 cm

Do đó BC = BH + CH = 9 + 6 = 14 cm

Bài 19: Cho hình vẽ, biết MP = 6cm, NQ = 8cm, MN = 2cm, QP = 8cm và  = . Chứng minh rằng MP  NQ

Trả lời:

Qua N dựng NH // MP với H  PQ

  =  (SLT)

Ta có  =  (giả thiết) nên MN // PQ

  =  (SLT)

Xét MNP và HPN có

 =  

NP chung

 =  

Do đó MNP = HPN(g.c.g)

 PH = MN = 2 cm; NH = MP = 6 cm

Khi đó NQH có NQ = 8cm, NH = 6cm và QH = QP + PH = 8 + 2 = 10

Ta có NQ² + NH² = 8² + 6² = 100; QH² = 10² = 100. Suy ra NQ² + NH² = QH²

Do đó NQH vuông tại N (định lí Pytagore đảo)  NH  NQ

Mà NH // MP (cách dựng)

 MP  NQ

Bài 20: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là trung điểm của AC. Kẻ Dê vuông góc BC. Chứng minh EB² – EC² = AB²

Trả lời:

Vì D là trung điểm AC nên AD = DC

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BED vuông tại E có EB² = BD² – DE² (1)

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác CED vuông tại E có EC² = DC² – DE² (2)

(1) – (2) ta có

EB² – EC² = BD² – DE² – (DC² – DE²) = BD² – DE² – DC² + DE²

                  = BD² – DC² = BD² – AD² = AB² (đpcm)