Bài tập file word Toán 8 chân trời sáng tạo Ôn tập Chương 7: Định lí Thalès (P2)

ÔN TẬP CHƯƠNG 7: ĐỊNH LÍ THALÈS (PHẦN 2)

Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD = 1/2 DC, Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh: AI = IM

Trả lời:

Gọi E là trung điểm của DC

Trong ΔBDC, ta có:

M là trung điểm của BC (gt)

E là trung điểm của CD (gt)

Nên ME là đường trung bình của ∆BCD

⇒ME // BD (tính chất đường trung bình tam giác)

Suy ra: DI // ME

AD = 1/2 DC (gt)

DE = 1/2 DC (cách vẽ)

⇒ AD = DE và DI//ME

Nên AI= IM (tính chất đường trung bình của tam giác).

Bài 2: Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, F, I thắng hàng.

Trả lời:

* Hình thang ABCD có AB // CD

E là trung điểm của AD (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD

EF // CD (tỉnh chất đưòng trung bình hình thang) (1)

* Trong ∆ADC ta có:

E là trung điểm của AD (gt)

I là trung điểm của AC (gt)

Nên EI là đường trung bình của ∆ADC

⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình tam giác) (2)

Từ (1) và (2) và theo tiên đề ƠClít ta có đường thẳng EF và EI trùng nhau. Vậy E, F, I thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE//IK, DE= IK.

Trả lời:

* Trong ∆ABC, ta có:

E là trung điểm của AB (gt)

D là trung điểm của AC (gt)

Nên ED là đường trung bình của ∆ABC

⇒ ED//BC và ED = BC/2 (tính chất đường trung bình của tam giác) (l)

* Trong ∆GBC, ta có:

I là trung điểm của BG (gt)

K là trúng điểm của CG (gt)

Nên IK là đường trung bình của ∆GBC

⇒ IK // BC và IK = BC/2 (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (l) và (2) suy ra: IK // DE, IK = DE.

Bài 4: Cho góc . Trên tia , lấy theo thứ tự  điểm  sao cho  thỏa mãn Trên tia , lấy điểm  với . Từ , kẻ đường thẳng song song với  cắt  tại . Tính độ dài .

Trả lời:

Xét có:  (gt)

 (định lí Ta-let trong tam giác)

Bài 5: Cho tam giác ABC, vẽ đường thẳng d đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với cạnh BC và cắt AC tại N (Hình 1). Hãy chứng minh N là trung điểm của AC

Trả lời:

Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thales ta có:

Suy ra N là trung điểm của AC

Bài 6: Tìm x trong Hình 20

Trả lời:

1. a) Xét tam giác ABC có MN // BC, theo định lí Thales ta có:

suy ra , vậy x = 3

1. b) Xét tam giác CDE có AB // DE, theo định lí Thales ta có:

suy ra , vậy x = 7.2

1. c) Xét tam giác MNP có:

 DE⊥MP; MN⊥MP suy ra DE// MN, theo định lí Thales ta có:

suy ra , vậy x = 2

Bài 7: Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC của tam giác ABC.

1. a) Tính các tỉ số 
2. b) Chứng minh MN // BC
3. c) Chứng minh 

Trả lời:

1. a) Vì M là trung điểm AB suy ra 

Tương tự, 

1. b) Xét tam giác ABC có:  theo định lí Thales đảo ta có: MN // BC
2. c) Xét tam giác ABC có MN // BC, áp dụng hệ quả định lí Thales, ta có:

Bài 8: Tính độ dài cạnh MQ của tam giác MPQ trong Hình 6

Trả lời:

Trong tam giác MPQ , ta có MN là đường phân giác góc M, suy ra 

 nên 

Suy ra 

Bài 9: Cho tam giác ABC có BC cm AC AB = = 24 , 3 . Tia phân giác của góc ngoài tại A cắt đường thẳng BC ở E . Tính độ dài EB .

Trả lời:

Áp dụng tính chất của đường phân giác ngoài AE vào tam giác ABC , ta được:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

Vậy EB =12 cm

Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh

DE // BC 

Trả lời:

Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác góc AMB suy ra 

Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác góc AMC suy ra 

Mà MB = MC, do đó: , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Bài 9: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE.

1. a) Chứng minh rằng HK song song với DE.
2. b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10.

Trả lời:

1. a) cân tại B, đường cao BH nên BH đồng thời là đường trung tuyến nên

Tương tự   nên HK là đường trung bình của  nên  ;  

1. b) (vì cm )

Bài 10: Cho  có , ,  là các đường phân giác.  Chứng minh rằng: .

 Trả lời:

Xét , áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

     (1)

     (2)

     (3)

Nhân (1), (2), (3) theo vế ta được:.

Bài 11: Hãy tìm các đoạn thẳng tỉ lệ trong hình vẽ sơ đồ một góc công viên ở Hình 4.

Trả lời:

Bài 12: Quan sát Hình 25 và chứng minh 

Trả lời:

Xét tam giác ABC có BC⊥AB′,B′C′⊥AB′ suy ra BC// B'C', theo hệ quả định lí Thales ta có:

suy ra 

⇒a′x=a(x+h)⇒a′x−ax=ah⇒x(a′−a)=ah⇒

Bài 13: Tính độ dài đoạn PQ (Hình 10)

Trả lời:

Xét tam giác ABC có: AP = PB = 8cm; AQ = QC = 7 cm suy ra PQ là đường trung bình tam giác ABC nên (cm)

Bài 14: Cho MN là đường trung bình của mỗi tam giác ABC trong Hình 9. Hãy tìm giá trị x trong mỗi hình

Trả lời:

1. a) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2 MN suy ra x = 12
2. b) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2MN suy ra 2x + 3 = 14 suy ra x = 
3. c) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có:

BC = 2MN suy ra 58=2(5x−1)⇒58=10x−2⇒x=6

Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

1. a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
2. b) AM là đường trung trực của EF.

Trả lời:

1. a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song với AC.

Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB (theo Định lí 1).

Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC.

Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam giác ABC;

1. b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF.

Suy ra AM là đường trung trực của EF.

Bài 16: Giữa hai điểm B và C có một hồ nước (xem hình bên). Biết DE = 45 m. Làm thế nào để tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C

Trả lời:

Theo kiến thức bài trước:

Xét tam giác ABC ta có: , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Suy ra , vậy BC = 2DE = 90 (m)

Sau khi học xong bài này:

Ta có: D, E là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra  vậy BC = 2DE = 90 (m)

Bài 17: Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên đường thẳng m. Chứng minh

Trả lời:

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu của E, F trên đường thẳng m. Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

⇒

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và BB'D'D.

⇒ và  

Thay vào (1) ta được ĐPCM.

Bài 18: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH, lấy các điểm K, I sao cho  . Qua I, K  lần lượt vẽ các đường thẳng  ,  ( E, M AB, F, N AC).

 Tính  và .

Trả lời:

1. +)         

+)         

Bài 19: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A'; B'; C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. Chứng minh rằng BB' + CC' = 2AA'

Trả lời:

Gọi N là hình chiếu của M trên d.

Xét tứ giác BB'CC' có BB' // CC' (cùng vuông góc d)

⇒ BBCC' là hình thang.

M là trung điểm BC và MN // BB' // CC' (cùng vuông góc d)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BBCC'

⇒ BB' + CC' = 2MN (1)

Chứng minh được

⇒ AA' = MN  (2)

Từ (1); (2) suy ra BB' + CC' = 2AA'

Bài 20: Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R. Chứng minh nếu AP, BQ, CR đồng quy thì  

Trả lời:

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR lần lượt tại N và M.

Ta chứng minh được:  (1)

 ;  (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  (đpcm)