Giáo án và PPT Toán 11 chân trời Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 4. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu 

Vì sao mặt cắt của sóng nước trên mặt hồ được gọi là dạng hình sin?

GV hướng dẫn, giới thiệu về “dạng hình sin” cho HS. (Có thể HS đã được tiếp cận ở môn Vật lí lớp 11 trong bài Dao động điều hòa).

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

Hoạt động 1: Tìm hiểu hàm số lượng giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn HĐKP 1

Lưu ý: nhấn mạnh đơn vị đo góc được sử dụng là radian.

- GV: ứng với mỗi giá trị t có một giá trị , tương tự với các giá trị lượng giác khác. Quy tắc đặt tương ứng đó thõa mãn định nghĩa hàm số. 

Từ đó hình thành khái niệm hàm số lượng giác.

- GV đặt câu hỏi: Nêu tập xác định của các hàm số lượng giác đó?

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 1

a) Với mỗi số thực , góc lượng giác rad được biểu diễn bởi một điểm duy nhất trên đường tròn lượng giác, mỗi điểm như vậy đều có một tung độ và một hoành độ duy nhất, chính là và . 

Do đó xác định duy nhất giá trị và .

b) Với thì . Vì xác định duy nhất giá trị và sin nên cũng xác định duy nhất giá trị tan .

Với thì . Vỉ xác định duy nhất giá trị và sin nên cũng xác định duy nhất giá trị .

Như vậy và là các hàm số.

Kết luận

- Hàm số sin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực kí hiệu

- Hàm số côsin là quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực kí hiệu

- Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức

với  , kí hiệu

- Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức

với  , kí hiệu

Nhận xét

- Tập xác định của hàm số và là

- Tập xác định của hàm số là

- Tập xác định của hàm số là .

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

Hoạt động 2: Tìm hiểu về hàm số chẵn, hàm số lẻ.

- HS thực hiện HĐKP 2.

- GV tổng quát hai trường hợp:

+ Tổng quát, đồ thị của một hàm số đối xứng qua trục khi và chủ khi với mồi điểm " thuộc đồ thị hàm số thì điểm cũng thuộc đồ thị hàm số, nói cách khác, nếu thuộc tập xác định thì cũng thuộc tập xác định và . Tử đây, ta có khái niệm , hàm số chẵn.

+ Tổng quát, đồ thị của một hàm số đối xứng qua gốc toạ độ khi và chỉ khi với mỗi điễm thuộc đồ thị hàm số thì điểm cũng thuộc đồ thị hàm số, nói cách khác, nếu thuộc tập xác định thì cũng thuộc tập xác định và . Từ đây, ta có khái niệm hàm số lẻ.

- GV giới thiệu định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ.

- GV chú ý về đồ thị hàm số chẵn, lẻ.

- GV lưu ý: Có hàm số không lẻ, không chẵn.

+ Các bước cơ bản để xác định hàm số chẵn, lẻ:

Tìm tập xác định của hàm số.

Xét x và – x có thuộc vào tập xác định D không

Tính và và so sánh.

- HS đọc hiểu Ví dụ 1

- HS thực hiện Thực hành 1.

Sản phẩm dự kiến:

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

HĐKP 2

a) và . 

Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số đối xứng qua trục . Điều này có được vì giá trị hàm số tại và là bằng nhau với mọi .

b) và . Quan sát Hình , ta thấy đồ thị hàm số đối xúng qua gốc tọa độ . Điều này có được vì giá trị hàm số ại và là đối nhau với mọi .

Định nghĩa

Cho hàm số có tập xác định là .

+ Hàm số  với tập xác định D được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi  ta có và . 

+ Hàm số  với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi  ta có và .

Nhận xét

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Ví dụ 1 (SGK -tr.27)

Thực hành 1

+) Hàm số có tập xác định là . 

Với mọi thì và .

Do đó là hàm số lẻ.

+) Hàm số có tập xác định là .

Với mọi thì , , cũng có nghĩa là . Hơn nữa, . Do đó là hàm số lẻ.

Hoạt động 3: Tìm hiểu hàm số tuần hoàn

- HS thực hiện HĐKP 3.

- GV giới thiệu về hàm số tuần hoàn và chu kì tuần hoàn của hàm số.

+ Chú ý về đồ thị của hàm số tuần hoàn. (có thể cho HS dự đoán trước).

- HS đọc hiểu Ví dụ 2.

- HS thực hiện Thực hành 2.

- HS nhắc lại tính chất của .

Từ đó có chú ý.

Sản phẩm dự kiến:

b) Hàm số tuần hoàn

HĐKP 3

bằng hoặc một bội bất kì khác của . Như vậy giá trị của hàm số sin lặp lại trên từng đoạn có độ dài .

Kết luận

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn  nếu tồn tại sao cho: với mọi ta có và .

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn y = f(x).

Chú ý:

Đồ thị của hàm số tuần hoàn chu kì T được lặp lại trên từng đoạn giá trị của x có độ dài T.

Ví dụ 2 (SGK -tr.27)

Thực hành 2

Hàm số là hàm số tuần hoàn vì với mọi ta có và .

Hàm số là hàm số tuần hoàn vì với mọi ta có

và .

Chú ý:

a) Các hàm số và là các hàm số tuần hoàn với chu kì

b) Các hàm số và là các hàm số tuần hoàn với chu kì

3. ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hoạt động 4: Tìm hiểu đồ thị của các hàm số lượng giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm 4, hoàn thành HĐKP 4

- Từ đó GV giới thiệu về đồ thị hàm số của hàm lượng giác cơ bản.

- Tương tự HS có thể thực hiện tìm hiểu các HĐKP 5. Từ đó rút ra kết luận về đồ thị hàm số y = cos x.

- HS đọc hiểu ví dụ 3.

- Áp dụng HS thực hiện Thực hành 3, Vận dụng 1.

- HS tìm hiểu HĐKP 6, HĐKP 7 theo nhóm 4.

- GV cho HS nêu kết luận về đồ thị hàm số y =tan x và y = cot x.

- HS đọc, giải thích ví dụ 4

- HS thực hiện Thực hành 4 và Vận dụng 2.

Sản phẩm dự kiến:

a) Hàm số

HĐKP 4 (Bảng dưới)

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .
• Là hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .

b) Hàm số

HĐKP 5 (bảng dưới)

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Là hàm số chẵn và đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.

•  Đồng biến trên mỗi khoảng và nghịch biến trên mỗi khoảng .

Ví dụ 3 (SGK -tr.29)

Thực hành 3

a) Ta có đồ thị hàm số với

b) Xét trên đoạn

Tại điểm có hoành độ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là

c) Khi thì

Vận dụng 1:

Trong 3 giây đầu, ta có , nên . Đặt và từ đồ thị hàm số côsin, ta có đồ thị hàm trên đoạn như sau:

Ta thấy đạt giá trị lớn nhất khi hoặc . Khi dó hoặ .

c) Hàm số

HĐKP 6:

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .
• Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
• Đồng biến trên mỗi khoảng  

d) Hàm số

HĐKP 7

Kết luận

• TXĐ: .
• Tập giá trị: .
• Hàm số tuần hoàn với chu kì .
• Hàm số lẻ, có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
• Nghịch biến trên mỗi khoảng  

Ví dụ 4 (SGk -tr.32)

Thực hành 4

a) Ta có đồ thị hàm số với và  

b) Trong hình dưới đây, ta thấy đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt. Do đó, có hai giá trị x mà tại đó giá trị hàm số bằng 2.

Vận dụng 2

Điểm nằm cách xích đạo có hoặc , nghĩa là hoặc

nên .

Đặt và xét đồ thị hàm số trên khoảng , ta có đồ thị như hình:

Dựa vào đồ thị, ta thấy: 

Vậy trên bản đồ, các điểm nằm ở vĩ độ Bắc và Nam nằm cách xích đạo .

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?

A. .                                                 B. .                     

 C. .                                                D. .

Câu 2: Cho đồ thị với . Đây là đồ thị của hàm số của hàm số nào?

A. .                                      B. .                         

C.                                        D. .

Câu 3: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. Hàm số tuần hoàn với chu kì .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng .

D. Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: C

Câu 2: B

Câu 3: C

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Khi đu quay hoạt động, vận tốc theo phương ngang của một cabin M phụ thuộc vào góc lượng giác α = (Ox, OM) theo hàm số v_x = 0,3sin α (m/s) (Hình 11).

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của v_x.

b) Dựa vào độ thị của hàm số sin, hãy cho viết trong các vòng quay đầu tiên (0 ≤ α ≤ 2π), góc α ở trong các khoảng nào thì v_x tăng.

Câu 2: Khoảng cách từ tâm một guồng nước đến mặt nước và bán kính của guồng đều bằng 3m. Xét gàu G của guồng. Ban đầu gàu G nằm ở vị trí A (Hình 12).

a) Viết hàm số h biểu diễn chiều cao (tính bằng mét) của gàu G so với mặt nước theo góc α = (OA, OG).

b) Guồng nước quay hết mỗi vòng trong 30 giây. Dựa vào đồ thị của hàm số sin hãy cho biết ở các thời điểm t nào trong 1 phút đầu, khoảng cách của gàu đến mặt nước bằng 1,5m.