Giáo án điện tử Toán 11 cánh diều Chương 1 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị

THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Guồng nước (hay còn gọi là cọn nước) không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hoá đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (m) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức , trong đó , với x (phút) là thời gian quay của guồng .

Khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x như thế nào?

BÀI 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

NỘI DUNG BÀI HỌC

Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

Hàm y = sinx

Hàm y = cosx

Hàm y = tanx

Hàm y = cotx

1. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN
2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ

HĐ1

1. a) Cho hàm số .

• Với , hãy so sánh và .
• Quan sát parabol (P) là đồ thị của hàm số (Hình 19) và cho biết trục đối xứng của (P) là đường thẳng nào. 

Giải

• Với ta có:

    Do đó

• Trục đối xứng của (P) là đường thẳng x = 0, hay chính là trục Oy.

1. b) Cho hàm số .

• Với , hãy so sánh và .
• Quan sát đường thẳng d là đồ thị của hàm số (Hình 20) và cho biết gốc tọa độ O có là tâm đối xứng của đường thẳng d hay không. 

Giải

• Với , ta có: và .

    Do đó .

• Gốc tọa độ O là tâm đối xứng của đường thẳng d.

> Ta nói hàm số  là hàm số chẵn; hàm số  là hàm số lẻ.

Khái niệm

Cho hàm số  với tập xác định D.

• Hàm số được gọi là hàm số chẵn nếu  thì  và .
• Hàm số được gọi là hàm số lẻ nếu  thì  và .

Chú ý

• Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Ví dụ 1 (SGK - tr.22)

Chứng tỏ hàm số f(x) = 3x² - 5 là hàm số chẵn

Giải

Hàm số f(x) = 3x² - 5 là hàm số chẵn vì:

• Tập xác định là D = ;
• thì -  và f(-x) = 3(-x)² - 5 = 3x² - 5 = f(x)

Thảo luận nhóm đôi

Luyện tập 1:

1. a) Chứng tỏ rằng hàm số g(x) = x³ là hàm số lẻ.
2. b) Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ.

Giải

1. a) Xét hàm số g(x) = x³ có tập xác định D = .

∀ x ∈ thì -x ∈ , ta có:

g(-x) = (-x)³ = -x³ = -g(x)

Do đó hàm số g(x) = x³ là hàm số lẻ.

1. b) Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

f(x) = x⁴ + x³;  g(x) = 2x³ - (3x)²; ....

2. Hàm số tuần hoàn

HĐ2

Cho hàm số y = f(x) xác định trên và có đồ thị như Hình 21

1. a) Có nhận xét gì về đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a; a + T], [a; a + 2T], [a - T; a]?
2. b) Lấy điểm M(x_o; f(x_o)) thuộc đồ thị hàm số với x_o [a; a + T]. So sánh mỗi giá trị f(x_o + T), f(x_o - T) với f(x_o).
3. a) Đồ thị hàm số trên mỗi đoạn [a ; a + T], [a + T; a + 2T], [a – T; a] có dạng giống nhau.
4. b) Ta có:

Định nghĩa

Cho hàm số  với tập xác định D. Hàm số  được gọi là tuần hoàn nếu tồn tại một số T khác 0 sao cho với mọi , ta có:

• và .

Số T nhỏ nhất thỏa mãn (nếu có) các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Ví dụ 2 (SGK - tr.23)

Cho hàm số

và T là một số hữu tỉ dương.

Chứng minh:  với mọi x. Từ đó suy ra hàm số  là tuần hoàn.

Giải:

Ta thấy hàm số  xác định trên . Xét một số thực x tùy ý.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ. Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ. Vì thế  = với mọi x.

Þ Hàm số  là tuần hoàn.

Hoạt động cá nhân

Luyện tập 2:

Lấy ví dụ và chứng minh đó là hàm số tuần hoàn.

Giải

Ví dụ:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

Chứng minh:  có tập xác định trên .

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

Quan sát lại đồ thị Hình 21 và cho biết:

Từ đồ thị hàm số đó trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải hoặc sang trái theo đoạn có độ dài T thì ta được đồ thị hàm số trên đoạn nào?

Nhận xét

Cho hàm số tuần hoàn chu kì T. Từ đồ thị hàm số đó trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T thì được đồ thị hàm số trên đoạn [a + T; a + 2T] (hoặc [a – T; a]).

1. HÀM SỐ y = sinx