BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG (20 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, có cạnh bên SA ⊥ (ABC). Tìm góc giữa đường thẳng SC và đáy.
Đáp án:

Hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC) là AC, cho nên:

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có cạnh bên SA ⊥ (ABC). Tìm góc giữa đường thẳng SB và đáy.

Đáp án:

Hình chiếu vuông góc của SB lên (ABC) là AB, cho nên:

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc nào?

Đáp án:

Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA

Khi đó hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB, cho nên:

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABCD).

Đáp án:

Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABCD) là AC, cho nên:

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định góc giữa đường thẳng A’C’ và mặt phẳng (ABCD).

Đáp án:

Hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABCD) là AC, cho nên:

2. THÔNG HIỂU (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao. Tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

Đáp án:

Gọi độ dài cạnh đáy bằng a.

Gọi H là tâm của đáy  ⊥ (ABC).

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC) là AH nên

Gọi M là trung điểm của BC

.

Bài 2: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có và AA’ = 1. Góc tạo bởi giữa đường thẳng AC’ và (ABC) bằng?

Đáp án:

Hình chiếu vuông góc của AC’ lên đáy (ABC) là AC, cho nên

.

Trong tam giác vuông ACC’ ta có:

Bài 3: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a. Đáy ABC thỏa mãn AB = . Tìm số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

Đáp án:

Hình chiếu vuông góc của SB lên đáy (ABC) là AB, nên

Trong tam giác vuông SBA ta có:

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng?

Đáp án:

Gọi O là giao điểm của AC và BD  SO ⊥ (ABCD).

Hình chiếu vuông góc của SA lên (ABCD) là OA, nên:

Ta có

Bài 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = 2 và

Góc giữa đường thẳng CA’ và mặt phẳng (ABCD) bằng?

Đáp án:

Hình chiếu vuông góc của A’C lên đáy ABCD là AC, cho nên:

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông ABC ta có:

Trong tam giác vuông ACA’ có:  

Vậy góc giữa đường thẳng AC và đáy là

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O  vuông góc với ABCD lấy điểm S. Biết góc giữa SA và mặt phẳng (ABCD) có số đo bằng 45. Tính độ dài SO.

Đáp án:

ABCD là hình vuông cạnh 2a

Ta có: SO ⊥ (ABCD) là hình chiếu của  

Vậy góc giữa  và  chính là  = 45 

Xét tam giác  ta có

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của . Số đo góc tạo bởi SC và (BHK)  là?

Đáp án:

Ta có:

BH ⊥ AC (gt); BH ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD))

Mà BK ⊥ SC

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC  là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và mặt phẳng (ABC).

Đáp án:

Do  là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) nên SH ⊥ (ABC). Vậy  là hình chiếu của SH lên mp (ABC) . Ta có: . SH ⊥ (ABC) Mà . Vậy tam giác SAH vuông cân tại H.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a . Tính góc  là góc giữa SC và (ABCD).

Đáp án:

Vì  SA ⊥ (ABCD)  là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABCD). Suy ra góc giữa SC và mp (ABCD) bằng góc giữa SC và AC . Xét tam giác SAC vuông tại A có: .

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi  là góc giữa AC’ và (A’BCD’. Chọn khẳng định đúng:

Đáp án:

Gọi   

là hình chiếu vuông góc của AC’ lên (A’BCD’  

 là góc giữa AC’ lên (A’BCD’)

Mà  

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh ,  và . Gọi  là góc giữa  và ,  là góc giữa  và . Giá trị  bằng?

Đáp án:

Để xác định góc giữa  và  ta xác định hình chiếu của  lên mặt phẳng . Ta có:  là hình chiếu của  trên ,  là hình chiếu của  trên  vì.

Vậy  là hình chiếu của  trên .

 vuông tại  .

Kẻ  tại  mà  nên .

   là hình chiếu vuông góc của  trên .

 vuông nên .

 vuông tại  .

Vậy .

Bài 2: Cho hình chóp đều, đáy có cạnh bằng  và có tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của ,. Biết góc giữa và bằng . Tính góc giữa và .

Đáp án:

Gọi là trung điểm của là đường trung bình của

 Góc giữa và  bằng góc .

Áp dụng định lý cosin cho  ta có:

Trong tam giác vuông ta có :

 và .

Gọi là trung điểm .

Mà  do đó .

Ta có : ,  (tính trên)

Vậy trong ta có: . Nên nếu gọi là góc giữa  và thì:  hay .

Bài 3: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng và . Gọi  là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính  theo .

Đáp án:

Gọi  là trung điểm ,  là chân đường cao hạ từ .

Ta có .

 vuông tại  nên:

Trong tam giác vuông  ta có:

Góc giữa cạnh bên và đáy là .

Bài 4: Cho hình chóp đều. Thiết diện qua đỉnh  và vuông góc với cạnh bên  có diện tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi  là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính .

Đáp án:

Đặt cạnh đáy hình vuông  là .

Giả sử thiết diện qua  là cắt , ,  lần lượt tại , , .

Theo giả thiết .

Mặt khác:  (vì ) . (vì ; với ).

Ta có .

Bài 5: Cho hình chóp đáy là hình vuông, cạnh bên  vuông góc với đáy, . Tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng .   

Đáp án:

Gọi  là hình chiếu của  lên   (vì góc  tù nên  nằm ngoài ). Ta có: .

Ta có: