CHƯƠNG 5: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

BÀI 4: HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG

(15 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Xác định đường thẳng d biết d đi qua A(1; 2) và có hệ số góc là 2.

Giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d: y = ax + b (a ≠ 0)

Vì d có hệ số góc là 2 ⇒ a = 2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2 và a = 2 vào d ta được

2 = 2.1 + b

⇔2 = 2 + b 

⇔b = 0

Vậy đường thẳng cần tìm là y = 2x.

Câu 2: Tìm giá trị của tham số để đường thẳng cắt đường thẳng tại một điểm nằm trên trục hoành.

Giải: 

Ta thấy hai đường thẳng luôn cắt nhau (vì )

+ Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm  

+ Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm

+ Để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì .

Câu 3: Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d’: y = 3x + 2 và đi qua A(1; 2).

Giải:

Gọi phương trình đường thẳng d cần tìm là y = ax + b (*) (a ≠ 0)

Vì d // d’ nên a = a’ = 3; b ≠ 2

Vì d đi qua A(1; 2) nên ta thay x = 1; y = 2; a = 3 vào  (*)  ta được

2 = 3.1 + b ⇔ 2 = 3 + b ⇔ b = 2 – 3 ⇔ b = -1

⇔ y = 3x – 1

Vậy đường thẳng d cần tìm là y = 3x – 1

Câu 4: Cho đường thẳng d: y = ax + b. Xác định hệ số góc của d biết

1. a) d song song với đường thẳng d1: y = 4x – 1
2. b) d vuông góc với đường thẳng d2: y = -3x + 1

Giải:

1. a) Vì d // d1 ⇒ a = 4

⇒ Hệ số góc của d là 4

1. b) Vì d ⊥ d2 nên a.( -3) = -1

                               ⇔ a = (-1) : (-3)

                               ⇔ a = 13

Vậy hệ số góc của d là 13.

Câu 5: Tìm hệ số góc của đường thẳng d: y = (m – 5)x – m  biết d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

Giải:

Vì d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 nên thay x = 0 và y = 3 vào d ta có

3 = (m – 5).0 – m ⇔ m = -3

Với m = -3 ⇒ a = (-3 – 5) = -8

Vậy hệ số góc của đường thẳng d là -8

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho các hàm số và

1. a) Xác định để hàm số đồng biến, còn hàm số nghịch biến.
2. b) Xác định để đồ thị của hàm số song song với nhau.

Giải: 

1. a) Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến:
2. b)  Đồ thị của hai hàm số song song với nhau:

Câu 2: Cho hàm số 

1. a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng .
2. b) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng

Giải: 

1. a) Để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 3 x = 0; y = - 3

Ta có     

Vậy với thì đồ thị hàm số cắt trục tung  tại điểm có tung  độ bằng  

1. b) Để đồ thị hàm số song song với đường thẳng

        ( t/m)

Vậy với thì đồ thị hàm số song song với đường thẳng 

Câu 3: Cho hai đường thẳng ; cắt nhau tại . Tìm để đường thẳng đi qua điểm ?

Giải:

Tọa độ là nghiệm của hệ  

Do đi qua điểm nên .

Vậy là giá trị cần tìm.

Câu 4: Tìm góc tạo bởi đường thẳng d: y  = -x + 5 với trục Ox.

Giải:

Vẽ d lên hệ trục tọa độ

Cho x = 0 ⇒ y = 5 ⇒ A(0; 5)

Cho y = 0 ⇒ x = 5 ⇒ B(5; 0)

Vậy d cắt hai trục Oy; Ox tại hai điểm A và B

Gọi α là góc tạo bởi d và tia Ox,

Gọi β là góc kề bù với góc α

Ta có tam giác AOB vuông tại O

Tan β

⇒ β = 45°

Mà α, β là hai góc kề bù

⇒ α + β = 180° ⇔ α = 180° − 45°  = 135°

Vậy góc giữa d và Ox là 135°

Câu 5: Cho Parabol và đường thẳng

1. a) Vẽ đồ thị.
2. b) Viết phương trình đường thẳng biết song song với đường thẳng và tiếp xúc

Giải: 

a)Vẽ đồ thị

Đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

1. b) Gọi phương trình đường thẳng có dạng

Vì song song với nên ta có:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

      (*)

Vì tiếp xúc với nên (*) có nghiệm kép (thỏa mãn).

Vậy phương trình đường thẳng là: 

Câu 6: Cho hàm số (m là tham số) có đồ thị là đường thẳng (d).

1. a) Tìm m để (d) đi qua điểm .
2. b) Tìm m để (d) song song với đường thẳng (Δ) có phương trình: .

Giải:

1. a) Ta có (d) đi qua điểm .
2. b) Ta có .

Câu 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua B(5; 4) và tạo với trục Ox một góc bằng 45°

Giải:

Gọi đường thẳng cần tìm là d y = ax + b (a ≠ 0)

Vì 45° < 90°  nên a = tan45° = 1

Vì d đi qua B(5; 4) nên ta thay x = 5; y = 4; a = 1 vào d ta được

4 = 1.5 + b

⇔ 4 = 5 + b

⇔ b = −1

Vậy đường thẳng cần tìm là d: y = x – 1.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho Parabol và đường thẳng với a là tham số.

1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và parabol khi
2. Tìm tất cả các gía trị của a để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn.

Giải:

1) Với ta có phương trình đường thẳng là

Khi đó ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

Từ đó ta tìm được hai giao điểm là và.

Vậy khi thì đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt và.

2) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol là:

Đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt hay

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là thì theo hệ thức Vi-et ta có:

Theo đề bài:

Thay vào ta được:

*Với thì ( không thỏa mãn).

*Với thì

Ta chọn nghiệm

Vậy là giá trị cần tìm.

Câu 2: Cho và

Xác định m để cắt tại hai điểm; sao cho

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Xét

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

Do

Vậy với hoặc thì cắt tại hai điểm phân biệt.

Câu 3: Trong cùng một mặt phẳng tọa độ, cho điểm

Đường thẳng đi qua M và không trùng với Oy. Chứng minh rằng luôn cắt tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn.

Giải:

Vì đi qua và không trùng với Oy nên có dạng

Vì nên suy ra

Phương trình hoành độ giao điểm của và là:

Vì phương trình (*) có hệ số nên (*) có 2 nghiệm phân biệt là

Theo hệ thức Vi-ét ta có

Vì suy ra:

Ta có:

Lại có

Vậy hay vuông tại O.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Xác định các giá trị nguyên a, b biết rằng đường thẳng đi qua điểm, cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là một số nguyên dương.

Giải:

Vì đường thẳng đi qua nên  (1)

Đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương nên

Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có tung độ là một số nguyên dương nên

Đặt thay vào (1) ta có:

Từ đó ta lập bảng tính giá tị của a,k như sau:

Từ đó:

So sánh với điều kiện (2), (3) ta được kết quả

Câu 2: Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng có phương trình  

(k là tham số ).

1. a) Với giá trị nào của k thì đường thẳng song song với đường thẳng

Khi đó hãy tính góc tạo bởi với tia Ox.

1. b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất.

Giải:

1. a) Phương trình của đường thẳng

Để đường thẳng song song với đường thẳng thì

Giải phương trình ta được

Góc tạo bởi với tia Ox là

1. b) Dễ thấy luôn đi qua điểm

Gọi H là hình chiếu của O trên, ta có

Phương trình OM là

Dấu bằng xảy ra khi

Khi đó

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng là lớn nhất khi