Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 9 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

BÀI 3 : ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình :

                               ( x – 6)2 + ( y – 3)2 = 25

Trả lời:

Đường tròn có tâm I( 6; 3) và bán kính R = 5

Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I( 8; 5) và đi qua điểm M( 7 ; -2)

Trả lời:

R = MI =  =

Phương trình đường tròn là : ( x - 8)2 + ( y – 5)2 = 50

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x −6)2 + (y − 4)2 = 7 tại H(-2; 3)

Trả lời:

Phương trình tiếp tuyến là :

          ( 6 – (-2)).( x – (-2)) + ( 4 – 3).( y – 3) = 0 ó 8x + y + 13 = 0

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Viết phương trình đường tròn nhận MN là đường kính với M( -5; 6) , N( 9; 4)

Trả lời:

Tâm I của đường tròn là trung điểm của MN => I (2; 5)

R2 = MI2 = ( 2 + 5)2 + ( 5 – 6)2 = 50

Phương trình đường tròn là : ( x – 2)2 + ( y – 5)2 = 50

Bài 2: Phương trình x2 + y2 – 12x + 16y +19 = 0 có phải là phương trình đường tròn không ? Nếu có, hãy xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Trả lời:

x2 + y2 – 12x + 16y +19 = 0 ó x2 – 12x + 36 + y2 + 16y + 64 = 81

ó ( x – 6)2 + ( y + 8)2 = 92

Phương trình trên là phương trình đường tròn có tâm I( 6; -8) và bán kính R = 9

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C):  (x −5)2 + (y + 4)2 = 18. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với d: x + y - 2024 = 0

Trả lời:

Tiếp tuyến ∆ vuông góc d nên ∆ có dạng x − y + c = 0

d( I; Δ) = R ó  = 3 ó | 9 + c| = 6 ó c= -3 hoặc c = -15

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn là : x – y – 3 = 0 hoặc x – y – 15 = 0

Bài 4: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm K(1;1) , M(5;3) và có tâm I thuộc trục hoành.

Trả lời:

Gọi I ( x; 0) ; IK2 = IM2 ó ( 1 – x)2 + 12 = ( 5 – x)2 + 32

ó x2 – 2x + 1 + 1 = x2 – 10x + 25 + 9

ó 8x = 32 ó x = 4 => tâm I ( 4; 0)

Bán kính R = IK =  =

Vậy phương trình đường tròn (C) : (x – 4)2 + y2 = 10

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(−3;−1), N(−1;3), Q(−2;2)

Trả lời:

Phương trình đường tròn có dạng (C) : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0)

Vì M, N, Q thuộc (C) nên ta có hệ phương trình

6a + 2b – c = 10

2a – 6b – c = 10

4a – 4b – c = 8

ó a = -2; b = 1; c = -20

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là : x2 + y2 – 4x + 2y – 20 = 0

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy , tìm quỹ tích điểm I là tâm của đường tròn (C) , biết (C) tiếp xúc với đường thẳng d : 6x −8y +15 = 0 và có bán kính R = 3.

Trả lời:

Gọi tâm I ( xI ; yI) của đường tròn (C)

(C) có bán kính R = 3 và tiếp xúc với đường thẳng d

=> d( I, d) = R ó  = 3 ó 6.xI – 8.yI – 15 = 0 hoặc 6.xI – 8.yI +45 = 0

Vậy quỹ tích tâm I là 2 đường thẳng song song : 6x – 8y – 15 = 0 ; 6x – 8y + 45 = 0

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho d: x + 2y – 3 = 0 và Δ : x + 3y – 5 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R =  , có tâm thuộc d và tiếp xúc với Δ.

Trả lời:

Gọi I( -2a + 3; a)  d là tâm của (C)

Ta có :

d( I, Δ) = R ó  = ó | a – 2| = 4 ó a = 6 hoặc a = - 2

a = 6 => I (-9; 6) => Phương trình đường tròn (C) : ( x + 9)2 + ( y – 6)2 =

a = -2 => I (7; -2) => Phương trình đường tròn (C) : ( x - 7)2 + ( y + 2)2 =

Bài 4 : Tìm m để phương trình sau là phương trình đường tròn :

            (C) : x2 + y2 + 4mx – 2my + 2m + 3 = 0

Trả lời:

Ta có : a =  = -2m ; b =  = m ; c = 2m + 3

Điều kiện để phương trình là phương trình đường tròn

ó a2 + b2 – c > 0 ó 5m2 – 2m – 3 > 0 ó m > 1 hoặc m <

Vậy m > 1 hoặc m <

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng (Oxy) , cho (C) : ( x − 2)2 + ( y −1)2 = 5 . Tìm M ∈ ∆ : x + y + 2 = 0 sao cho qua M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB thỏa mãn diện tích tứ giác MAIB bằng 10, với I là tâm đường tròn.

Trả lời:

(C) có tâm I( 2; 1); R =  = AI

SMAIB = 2.SAMI = 2.. AM. AI = 10 => AM = 2 => MI =  = 5

M ∈ ∆ : x + y + 2 = 0 => M( a; 2 – a)

MI = 5 ó ( 2 – a)2 + ( 1 – a)2 = 25 ó a2 – 3a – 10 = 0 ó a = 5 hoặc a = -2

Vậy có 2 điểm thỏa mãn là M (5 ; -3) hoặc M( -2; 4)

Bài 2: Cho A( -1; 0) ; B( 2; 4) ; C(4; 1). Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn 3.MA2 + MB2 = 2.MC2 là một đường tròn (C). Tìm bán kính của (C)

Trả lời:

Gọi M( x; y)

Ta có : 3.MA2 + MB2 = 2.MC2

ó 3.[( x +1)2 + y2] + ( x – 2)2 + ( y – 4)2 = 2.[( x - 4)2 + (y – 1)2]

ó 3x2 + 3y2 + 6x + 3y + 3 + x2 – 4x + 4 + y2 – 8y + 16 = 2x2 + 2y2 – 16x – 4y + 34

ó 2x2 + 2y2 + 18x – 4y – 11 = 0

ó x2 + y2 + 9x – 2y -  = 0 (*)

a =  ; b = 1 ; c =  => a2 + b2 – c =  > 0

=> Phương trình (*) là phương trình đường tròn có bán kính R =

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C1) : ( x – 2)2 + ( y – 3)2 = 2 và (C2) : ( x – 1)2 + ( y – 2)2 = 8. Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn.

Trả lời:

(C1) có tâm I1 ( 2;  3) và R1 =  ; (C2) có tâm I2 ( 1;  2) và R2 = 2

Ta có : I1I2 =  = R2 – R1 => 2 đường tròn tiếp xúc trong => có 1 tiếp tuyến chung

Tọa độ tiếp điểm M của 2 đường tròn là nghiệm của hệ :

( x – 2)2 + ( y – 3)2 = 2 ; ( x – 1)2 + ( y – 2)2 = 8 => M ( 3; 4)

Tiếp tuyến chung Δ là đường thẳng đi qua M và nhận  = ( -1; -1) là vectơ pháp tuyến => Δ : x + y – 7 = 0

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , một vật chuyển động tròn đều ngược chiều kim đồng hồ trên đường tròn tâm I(3;2) bán kính 5 dưới tác dụng của lực căng dây. Khi vật chuyển động tới điểm M (6;6) thì dây căng bị đứt.

a) Viết phương trình quỹ đạo chuyển động của vật sau khi dây bị đứt, biết rằng vật chỉ chịu tác động của duy nhất lực căng dây trong bài toán này.

b) Một vật khác chuyển động thẳng đều trên đường thẳng có phương trình ∆ : 3x + 4y + 23 = 0. Chứng minh hai vật này không gặp nhau tại bất kì thời điểm nào.

Trả lời:

a) Quỹ đạo chuyển động của vật thứ nhất trước khi dây bị đứt là đường tròn (C) có phương trình:                (x − 3)2 + (y − 2)2 = 52 ⇔ (x − 3)2 + (y − 2)2 = 25.

Khi dây bị đứt, do vật thứ nhất chỉ chịu tác động của duy nhất lực căng dây nên vật đó tiếp tục chuyển động theo tiếp tuyến Mt tại điểm M (6;6) thuộc đường tròn (C) .

Phương trình tiếp tuyến Mt là: (3 – 6).(x – 6) + (2 – 6).(y – 6) = 0 ó3x + 4y – 42 = 0

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thứ nhất sau khi dây bị đứt là tia Mt , đường thẳng Mt có phương trình là:  3x + 4y − 42 = 0

b) Khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng ∆ : 3x + 4y + 23 = 0 là:

                               IH =   = 8 > 5

Vì khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng ∆ lớn hơn bán kính của đường tròn (C) nên đường tròn (C) và đường thẳng ∆ không có điểm chung, tức là vật thứ hai không gặp vật thứ nhất khi dây chưa đứt.

Mặt khác, vì ∆ // Mt nên vật thứ hai không gặp vật thứ nhất sau khi dây bị đứt. Vậy hai vật không bao giờ gặp nhau.