BÀI 2:  TRUNG VỊ VÀ TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

(16 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Trong phòng thí nghiẹm, người ta chia 99 mẫu vật thành năm nhóm căn cứ trên khối lượng của chúng (đơn vị: gam) và lập bảng tẩ số ghép nhóm

1. a) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm nào?
2. b) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu thuộc nhóm nào?

Giải:

1. a) Gọi x1;x2;…;x99 là khối lượng của 99 mẫu vật xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu là x50[37,5;42,5).

1. b) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu thuộc là x25 thuộc vào nhóm [32,5;37,5).

Câu 2: Một trường trung học phổ thông đo chiều cao cho học sinh nam của lớp 11(đơn vị: centimét):

160 161 161 162 162 162 163 163 163 164 164 164 164 165 165 165 165 165 166 166 166 166 167 167 168 168 168 168 169 169 170 171 171 172 172 174   

Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với năm nhóm có độ dài bằng nhau.

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là bao nhiêu?

Giải:

Gọi x1;x2;…;x36 là chiều cao của 36 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là 12(x18+x19). Do x18∈[163;166) và x19∈[166;169) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là Q2=166.

Câu 3: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của các nhân viên một công ty như sau:

1. a) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm nào?
2. b) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu thuộc nhóm nào?

Giải:

1. a) Gọi x1;x2;…;x125 là thời gian đi từ nhà đến nơi làm việc của 125 nhân viên xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu là x63[30;35).

1. b) Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu thuộc là x32 thuộc vào nhóm [25;30).

Câu 4: Quãng đường (km) từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:

5 3 10 20 25 11 13 7 12 31

19 10 12 17 18 11 32 17 16 2

7 9 7 8 3 5 12 15 18 3

12 14 2 9 6 15 15 7 6 12.

Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0;5). 

1. a) Trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm nào?
2. b) Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu thuộc nhóm nào?

Giải:

1. a) Gọi x1;x2;…;x40 là quãng đường từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân xếp theo thứ tự không giảm.

Trung vị của mẫu số liệu là 12x20+x21[10;15).

1. b) Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu thuộc là 12x30+x31 thuộc vào nhóm [15;20).

Câu 5: Sau khi điều tra về số học sinh trong 100 lớp học, người ta chia mẫu số liệu đó thành năm nhóm căn cứ vào số lượng học sinh của mỗi lớp (đơn vị: học sinh) và lập bảng tần số ghép nhóm. Tìm trung vị của mẫu số liệu đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Giải:

Cỡ mẫu là n=100. Ta có n2=1002=50.

Gọi x1;x2;…;x100 là số học sinh của 100 lớp học, giả sử xếp theo thứ tự không giảm.

Nhóm chứa trung vị là: [42;44)

có p=4, a4=42;m4=30;m1+m2+m3=9+15+25=49;a5-a4=2 

Áp dụng công thực, ta có trung vị của mẫu số liệu là:

Me=42+50-4930⋅2≈42 (học sinh). 

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Cân nặng của 28 học sinh nam lớp 11 được cho như sau:
55,4 62,6 54,2 56,8 58,8 59,4 60,7 58 59,5 63,6 61,8 52,3 63,4 57,9 49,7 45,1 56,2 63,2 46,1 49,6 59,1 55,3 55,8 45,5 46,8 54 49,2 52,6

1. a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm có năm nhóm với độ dài bằng nhau, có nhóm là
   [45;49). Tính giá trị đại diện của mỗi nhóm.
2. b) Tính tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu.

Giải:

1. a) 

28. b) Cỡ mẫu là n =28.

Gọi x1;x2;…;x28 là cân nặng của 28 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là 12(x7+x8)∈[49;53). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=49+284-45⋅4≈51,4

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là 12(x21+x22) [57;61).Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q3=57+3⋅284-167⋅3≈59,1.

Câu 2: Số cuộc gọi điện thoại một người thực hiện mỗi ngày trong 30 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên được thống kê trong bảng sau:

Hãy tìm tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu.

Giải:

Cỡ mẫu n = 30

Gọi x1;x2;…;x30 là số cuộc gọi điện thoại được thực hiện xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là 12(x15+x16)∈[5,5;8,5). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q2=Me=5,5+302-513⋅3≈7,8

Câu 3: Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một học sinh được cho trong bảng sau:

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải:

Cỡ mẫu: n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Gọi x1;x2;…;x56 là thời gian vào Internet của 56 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó trung vị là 12x28+x29[15,5;18,5).

Ta xác định được n=56,nm=15,C=15,um=15,5,um+1=28,5.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

Me=15,5+562-1515⋅(18,5-15,5)=18,1. 

Câu 4: Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng. Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải:

Cỡ mẫu là: n = 18 + 28 + 35 + 43 + 43 + 41 + 35 = 200.

Gọi x1;x2;…;x200 là tốc độ bóng trong 200 lần giao xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó trung vị là 12x100+x101[165;170).

Ta xác định được n=200,nm=43,C=81,um=165,um+1=170.

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là

Me=165+2002-8143⋅(170-165≈167,21. 

Câu 5: Thời gian (phút) truy cập Internet mỗi buổi tối của một học sinh được cho trong bảng sau:

Tìm tứ phân vị thứ nhất Q1 và tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải:

Cỡ mẫu là n = 56.

Gọi x1;x2;…;x56 là thời gian vào Internet của 56 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x1;x2;…;x56 là 12(x14+x15)∈[12,5;15,5). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=12,5+564-312⋅3=15,25

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x1;x2;…;x56 là 12(x42+x43) [18,5;21,5).Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q3=18,5+3⋅564-3024⋅3=20.

Câu 6: 

Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng. 

Tính tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm.

Giải:

Cỡ mẫu là: n = 18 + 28 + 35 + 43 + 43 + 41 + 35 = 200.

Gọi x1;x2;…;x200 là tốc độ bóng trong 200 lần giao xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x1;x2;…;x100 là 12(x50+x51)∈[160;165). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=160+2004-4635⋅5≈160,57

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x1;x2;…;x56 là 12(x150+x151) ∈[170;175) . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q3=170+3⋅2004-12441≈173,17.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Bảng dưới cho ta bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam). Xác định tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó.

Giải

Cỡ mẫu là n = 40.

Gọi x1;x2;…;x40 là cân nặng của 40 học sinh lớp 11A xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu Q1∈[40;50). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=40+404-210⋅10=48( kg)

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu Q2∈[50;60). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q2=Me=50+20-1216⋅10=55( kg)

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu Q3∈[60;70). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q3=60+3.104-288⋅10=62,5( kg)

Vậy tứ phân vị của mẫu số liệu trên là:

Q1=48( kg);Q2=55( kg);Q3=62,5( kg). 

Câu 2: Kết quả kiểm tra môn Toán của lộ 11D như sau:

5 6 7 5 6 9 10 8 5 5 4 5 4 5 7 4 5 8 9 10

5 3 5 6 5 7 5 8 4 9 5 6 5 6 8 8 7 9 7 9

1. a) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên có bốn nhóm ứng với bốn nửa khoảng: [3; 5 ), [5; 7 ), [7;9),[9;11).
2. b) Ước lượng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Giải:

1. a) Bảng tần số ghép nhóm cho kết quả kiểm tra môn Toán của lớp 11D.

1. b) 

Cỡ mẫu n = 5 + 18 + 10 + 7 = 40.

Gọi x1;x2;…;x60 là điểm thi của 60 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là 12(x20+x21)∈[5;7). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q2=Me=5+402-518⋅2≈6,7

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là 12(x10+x11)∈[5;7). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=5+404-518⋅2≈5,6

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là 12(x30+x31) ∈[7;9) . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q3=7+3⋅404-2310.2=8,4.

Câu 3: Cho biểu đồ thể thiện sản lượng thủy sản của 30 tỉnh thành năm 2020 (đơn vị: chục tấn)

Hãy ước lượng tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu về sản lượng thủy sản năm 2020 của 30 tỉnh.

Giải:

Lập bảng 

Cỡ mẫu là n = 30

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là Q1∈[25;325). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=25+304-015⋅(325-25)=175.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là Q3∈[625;925)Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q3=625+3⋅304-214⋅(925-625)=737,5.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

1. a) Hiệu chỉnh và lập bảng mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm: [0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40), [40; 50), [50; 60), [60; 70), [70; 80), [80;90), [90; 100).
2. b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

Giải:

1. a) 

1. b) Cỡ mẫu n = 60

Gọi x1;x2;…;x60 là điểm thi của 60 học sinh xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là12(x30+x31)∈[50;60). Do đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q2=Me=50+602-2812⋅10≈52

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là 12(x15+x16)∈[40;50). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=40+604-1315⋅10≈41

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là 12(x45+x46) ∈[60;70) . Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q3=60+3⋅604-4010.10=65.

Câu 2: Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được kết quả số liệu ở bên

Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Giải:

Cỡ mẫu n = 86.

Gọi x1;x2;…;x86 là thời gian ngủ (giờ) của một buổi tối của 1 học sinh lớp 11 xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu thuộc nhóm [5;6) . Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là

Q1=5+864-1018.1=5,64 (giờ).

Vậy 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất là 5,64 giờ.