BÀI 26. KHOẢNG CÁCH (25 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp tam giác  với  vuông góc với  và  Diện tích tam giác  bằng . Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Kẻ  vuông góc với   

Khoảng cách từ S đến BC chính là SH

Dựa vào tam giác vuông  ta có  

Bài 2: Cho hình chóp  trong đó  đôi một vuông góc và  Khoảng cách giữa hai điểm  nhận giá trị nào?

Đáp án:

Do  nên

Như vậy  

Bài 3: Cho hình chóp  có cạnh  là tam giác đều cạnh bằng  Biết  và  là trung điểm của  Khoảng cách từ  đến đường thẳng  bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Do  đều cạnh  nên đường cao

Bài 4: Trong mặt phẳng  cho tam giác đều  cạnh . Trên tia  vuông góc với mặt phẳng  lấy điểm  sao cho . Khoảng cách từ  đến  bằng?

Đáp án:

Gọi  là trung điểm của  ;  là hình chiếu vuông góc của  trên  

Ta có  và  nên

Mà , do đó .

Vậy  

Bài 5: Cho tứ diện  trong đó, ,  vuông góc với nhau từng đôi một và, ,. Khoảng cách từ  đến đường thẳng  bằng?

Đáp án:

+ Dựng  .

+ , cắt  cùng nằm trong .

.

Xét trong  vuông tại  có  là đường cao ta có:

  .

+ Ta dễ chứng minh được   vuông tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong  vuông tại ta có:

 .

2. THÔNG HIỂU (10 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp  có cạnh  và  là tam giác đều cạnh bằng . Biết  và  là trung điểm của . Khoảng cách từ  đến đường thẳng  bằng?

Đáp án:

Dựng  .

Vì  là tam giác đều cạnh  và  là trung điểm của  nên dễ tính được .

Xét  vuông tại  có  là đường cao, ta có:

  .

Bài 2: Cho hình chóp  đáy  là hình chữ nhật. Biết   Khoảng cách từ  đến  bằng?

Đáp án:

 nên .

Suy ra  Trong  kẻ  vuông góc  tại . Khi đó  

 .

Bài 3: Hình chóp đều  có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng  Khoảng cách từ S đến  bằng?

Đáp án:

Gọi  là chân đường cao của hình chóp.

Ta có

Bài 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng đáy, . Gọi  là trung điểm của . Khoảng cách từ  đến  nhận giá trị nào?

Đáp án:

Khoảng cách từ  đến :

Bài 5: Cho hình chóp có cạnh và  là tam giác đều cạnh bằng . Biết  và là trung điểm của . Khoảng cách từ  đến đường thẳng  bằng?

Đáp án:

Ta có:  (Định lý 3 đường vuông góc) .

 (vì tam giác BCD đều).

Ta có: .

Bài 6: Cho hình chóp có , đáy  là hình thoi cạnh bằng  và . Biết . Tính khoảng cách từ  đến .

Đáp án:

Kẻ , khi đó .

 là hình thoi cạnh bằng  và  đều nên .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Bài 7: Cho hình chóp  có , ,  là hình vuông cạnh bằng . Gọi  là tâm của , tính khoảng cách từ  đến .

Đáp án:

Kẻ , khi đó . Ta có: (g-g) nên .

Mà: , .

Vậy .

Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng  và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên bằng

Đáp án:

,  là tâm của hình vuông .

Kẻ , khi đó , .

Ta có:

Bài 9: Cho hình chóp  trong đó , ,  vuông góc với nhau từng đôi một. Biết , , . Khoảng cách từ  đến  bằng?

Đáp án:

Vì , ,  vuông góc với nhau từng đôi một nên .

Kẻ , khi đó .

Ta có: .

Trong tam giác vuông ta có:

.

Bài 10: Cho tứ diện  có cạnh bên  vuông góc với mặt phẳng  và  là tam giác đều cạnh bằng  Biết  và  là trung điểm của  Khoảng cách từ điểm  đến đường thẳng  bằng?

Đáp án:

Nối . Kẻ

Suy ra  

Xét có

Vậy .

3. VẬN DỤNG (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình lập phương  cạnh  Khoảng cách từ  đến bằng?
Đáp án:

Ta có:  

Nên tứ diện  là tứ diện đều.

Gọi  là trung điểm ,  là trọng tâm tam giác .

Khi đó ta có:  

Vì tam giác  đều nên .

Theo tính chất trọng tâm ta có: .

Trong tam giác vuông  có: .

Bài 2: Cho hình chóp  có đáy  là tam giác vuông cân tại  với  Mặt bên chứa  của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc  Tính khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng đáy .

Đáp án:

Gọi  là hình chiếu của  lên , vì mặt bên  vuông góc với  nên  

Dựng , theo đề bài ta có .

Do đó tam giác  (cạnh góc vuông - góc nhọn)

Suy ra .

Lại có  

 Vậy  trùng với trung điểm của . Từ đó ta có  là đường trung bình của tam giác  nên .

Tam giác  vuông tại  và có  vuông cân.

Do đó: .

Bài 3: Cho hình chóp tam giác đều  có cạnh đáy bằng  và đường cao  Khoảng cách từ điểm  đến cạnh bên  bằng?

Đáp án:

Vì hình chóp  đều có  là đường cao   là tâm của

    Gọi  là trung điểm cạnh .

    Tam giác  đều nên .

    Kẻ .. Xét tam giác  vuông tại  :

     .

Bài 4: Cho hình lập phương  cạnh bằng  Gọi  là trung điểm của  Khoảng cách từ  đến mặt phẳng  bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Gọi  là trung điểm cạnh  và

Khi đó ta chứng minh được  

suy ra

Bài 5: Cho hình chóp  có đáy là nửa lục giác đều  nội tiếp trong đường tròn đường kính và có cạnh  vuông góc với mặt phẳng đáy với . Khoảng cách từ  và đến mặt phẳng  lần lượt là?

Đáp án:

.

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Cho hình chóp  có mặt đáy  là hình chữ nhật với  Hình chiếu vuông góc của đỉnh  lên mặt phẳng  là điểm  thuộc cạnh  sao cho  Góc giữa mặt phẳng  và mặt phẳng  bằng  Khoảng từ điểm  đến mặt phẳng  tính theo  bằng?

Đáp án:

Kẻ  

 góc giữa hai mặt phẳng  và

 là  

Có ,  

Có ,

Kẻ , mà  

Mà  .

Bài 2: Cho hình chóp  có mặt đáy  là hình thoi cạnh  . Hình chiếu vuông góc của đỉnh  lên mặt phẳng  là trọng tâm  của tam giác  Khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng  tính theo  bằng?

Đáp án:

Xác định khoảng cách:

- Đặc điểm của hình: Có đáy là hình thoi, góc  nên tam giác  đều cạnh

Tam giác  vuông ở , có đường cao  nên ;

Xét hình chóp có chân đường cao trùng với tâm của đáy nên .

- Dựng hình chiếu của lên mặt phẳng : Kẻ đường cao  của tam giác  với O là tâm của hình thoi.

 . Vậy  

- Tính độ dài

Với ; ;

.

Cách khác: Nhận xét tứ diện  có tất cả các cạnh bằng Do đó là tứ diện đều, vậy .

Bài 3: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông,  và  vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi  lần lượt là trung điểm các cạnh  Góc giữa mặt phẳng  và mặt phẳng  bằng  Khoảng cách từ điểm  đến mặt phẳng  bằng?

Đáp án:

+ Đặc điểm của hình: Đáy là hình vuông  nên .

Góc giữa mặt phẳng  và mặt phẳng là góc .Vậy tam giác  vuông cân tại . 

- Xác định khoảng cách: . Với là chân đường cao của tam giác .

- Tính :  .

Bài 4: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông tâm  cạnh  Hình chiếu vuông góc của đỉnh  trên mặt phẳng  là trung điểm  của cạnh  góc giữa hai mặt phẳng  bằng  Khoảng cách từ  đến mặt phẳng  tính theo  bằng?

Đáp án:

- Đặc điểm của hình: Góc giữa hai mặt phẳng  là .

- Xác định khoảng cách: . Với là đường cao của tam giác với là trung điểm .

- Tính .

Xét tam giác vuông  có  

.

Bài 5: Cho hình chóp  có đáy  là hình vuông cạnh  Hình chiếu vuông góc của  lên mặt phẳng  trùng với trọng tâm của tam giác  Cạnh bên  tạo với mặt phẳng  một góc bằng  Khoảng cách từ  tới mặt phẳng  tính theo  bằng?

Đáp án:

Đặc điểm hình: Góc giữa  tạo với mặt phẳng là ;

Xác định khoảng cách

Tính :

. Vậy.