Giáo án Toán 11 kết nối Bài 26: Khoảng cách

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS hoạt động cá nhân trả lời HĐ 1.

Dựa vào tính chất cạnh huyền và cạnh góc vuông trong tam giác vuông.

- GV giảng giải về định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng.

- GV đặt câu hỏi:
+ Nếu  thì điểm M và đường thẳng  có vị trí như thế nào? Tương tự với  Và ngược lại.

- Dựa vào kết quả HĐ 1 và khái niệm khoảng cách, GV lưu ý cho HS về tính ngắn nhất của khoảng cách.

+ Chú ý về chiều cao của hình chóp.

- HS đọc, trình bày Ví dụ 1.

+ Xác định được đoạn thẳng SO là chiều cao của hình chóp.

+ Tính SO dựa vào các định lí hình học.

- HS thực hiện Luyện tập 1.

+ Làm thế nào để xác định hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCC”B’)?

+ Kẻ đường vuông góc xác định hình chiếu của A lên BC’.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

HĐ 1:

a) Xét tam giác vuông tại H nên .

Vậy

b) Tương tự câu a, sử dụng tính chất cạnh huyền và cạnh góc vuông ta có:

Kết luận:

- Khoảng cách từ một điềm  đến một đường thẳng , kí hiệu  là khoảng cách giữa  và hình chiếu  của  trên .

- Khoảng cách từ một điểm  đến một mặt phẳng , kí hiệu , là khoảng cách giữa  và hình chiếu  của  trên .

Chú ý:

Nhận xét.

Khoảng cách từ  đến đường thẳng  (mặt phẳng  là khoảng cách nhỏ nhất giữa  và một điềm thuộc  (thuộc  ).

Chú ý:

Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.

Ví dụ 1 (SGK -tr.55)

Luyện tập 1

a) Kẻ   tại

Ta có: nên .

b)  vuông tại .

Kẻ  vuông góc với  tại

Ta có:

.

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ 2.

+ AM và BN có mối quan hệ gì? MN và AB?

- Từ kết quả trên nhận thấy: nếu đường thẳng a song song với (P) thì khoảng cách từ các điểm trên a đến (P) như thế nào?

- GV giảng giải dẫn đến định nghĩa.

- HS thực hiện HĐ 3, từ đó GV dẫn dắt đến khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

- HS suy nghĩ trả lời Câu hỏi (SGK).

- GV chốt lại kết quả và chú ý về chiều cao hình lăng trụ.

- GV chú ý việc tính khoảng cách giữa đường song song mặt, mặt phẳng song song mặt phẳng chủ yếu đưa về tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc điểm đến mặt phẳng.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

HĐ 2:

+ Ta có:

// .

// nên mặt phẳng  cắt  theo giao tuyến  //.

Mặt khác  .

Do đó  là một hình chữ nhật.

+ Vì  nên  và  có cùng khoảng cách đến .

Kết luận:

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với  kí hiệu là khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến

HĐ 3:

a) Khi một điểm M thay đổi trên đường thẳng m, khoảng cách từ M đến đường thẳng n không thay đổi vì m // n.

b) Vì (P) // (Q) nên các đường thẳng trên mặt (P) đều song song với (Q).

Dựa vào kết quả của hoạt động 2 ta có khi một điểm M thay đổi trên mặt phẳng (P), khoảng cách từ M đến mặt phẳng (Q) không thay đổi. 

Kết luận

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q), kí hiệu , là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

- Khoảng cách giữa hai đường đường thẳng song song m và n kí hiệu d(m;n) là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Câu hỏi:

Lấy

+)  // nên

+) nên

Chú ý. Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận hiểu và trình bày Ví dụ 2, làm Luyện tập 2.

- Ví dụ 2: GV hướng dẫn HS trình bày cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

- Luyện tập 2:

Xác định khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và (ABC) là đoạn thẳng nào?

Tương tự với khoảng cách giữa NP và (ABC).

+ b) Dựng đường thẳng qua A và vuông góc với (SBC).\

- HS thảo luận nhóm đôi thực hiện Vận dụng.

+ GV yêu cầu HS vẽ hình minh họa, mô hình hóa bài toán: xác định yếu tố đã cho và yếu tố cần tính.

- HS thực hiện HĐ 4. GV gợi ý:

Dựa vào tính chất hình chiếu của điểm, đường thẳng lên mặt phẳng; thì ta có đường thẳng chứa phương chiếu như thế nào so với (Q)?

- GV giới thiệu MN được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.

Từ đó HS khái quát khái niệm.

- GV giảng giải về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

- GV cho HS nhận xét.

+ Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Nếu mặt phẳng (P) chứa b và song song với a. Thì nhận xét  và

+ tương tự câu hỏi với hai mặt phẳng song song (Q) và (P).

- GV nhấn mạnh: để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta có thể tính gián tiếp qua đường song song với mặt, mặt song song với mặt; hoặc tính trực tiếp qua đường vuông góc chung.

- HS quan sát, đọc hiểu, trình bày Ví dụ 3.

- HS thực hiện mục Khám phá.

+ Xác định khoảng cách  và đoạn vuông góc chung giữa a và b.

- HS thực hiện Luyện tập 3:

+ a) Xác định khoảng cách giữa điểm và đường thẳng.

+ b) tìm hai đường thẳng vuông góc với BD mà nằm trong mặt phẳng (SAC).

+ c) Tìm đường vuông góc chung, tính khoảng cách dựa vào đường vừa dựng được.

- HS thảo luận nhóm đôi, trả lời mục Thảo luận (SGK).

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

Ví dụ 2 (SGK -tr.56)

Luyện tập 2:

a)

+) MN // (ABC)

//

;

+)

.

b) Kẻ  tại  

Ta có: .

Vậy

Vận dụng:

Gọi  là một điểm nằm trên thanh ngang và  là hình chiếu vuông góc xuống mặt dốc.

Khoảng cách từ  đến mặt phẳng dốc là

 .

Do đó không cho phép xe cao  đi qua.

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

HĐ 4:

a) Vì  là hình chiếu vuông góc của  trên  nên  và  thuộc cùng một mặt phẳng.

Gọi phương chiếu của đường thẳng xuống  là đường thẳng

Mặt phẳng  chứa  nên mặt phẳng  .

b) Ta có:  // //

Do   nên  .

Mà

 //

 .

Vậy   .

c) Do  //  và   nên .
Kết luận

- Đường thẳng  cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và vuông góc với hai đường đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b.

- Nếu đường vuông góc chung  cắt a, b tương ứng tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b.

Nhận xét:

·      Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phằng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại.

·      Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phằng song song, tương ứng chứa hai đường thằng đó.

Ví dụ 3 (SGK -tr.58)

Khám phá

Ta có

Mà  là đoạn vuông góc chung của và nên

Vậy

Luyện tập 3.

a) Kẻ

Ta có:

Vậy .
b) .
c) Kẻ 

Lại có

Vậy đường vuông góc chung giữa  và là

Thảo luận.

- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên (P)

- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).

- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.