BÀI 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1. CÔNG THỨC CỘNG

KP1 trang 21 sgk toán 11 CTST

Quan sát Hình 1...

Đáp án:

OMON=|OM||ON|cos⁡MON (định nghĩa của tích vô hướng)

=OMONcos -  =cos -

(vì MON=xON-xOM=-)

( vì M,N thuộc đường tròn lượng giác nên |OM|=|ON|=1). 

Vì M và N lần lượt là điểm biểu diễn của các góc lượng giác và trên đường tròn lượng giác, nên toạ độ của các điểm này là M(cos⁡;sin⁡) và N(cos⁡;sin⁡).

Do đó OMON=cos⁡cos⁡+sin⁡sin⁡

Vậy cos⁡(-)=cos⁡cos⁡+sin⁡sin⁡.

Suy ra cos⁡(+)=cos⁡[-(-)]=cos⁡cos⁡(-)+sin⁡sin⁡(-)=cos⁡cos⁡-sin⁡sin⁡.

TH1 trang 21 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính sin 12

Đáp án:

sin⁡12=sin⁡3-4=sin⁡3cos⁡4-cos⁡3sin⁡4=3222-1222=6-24;

tan⁡12=tan⁡3-4=tan⁡3-tan⁡41+tan⁡3tan⁡4=3-11+3⋅1=2-3

2. CÔNG THỨC GÓC NHÂN ĐÔI

KP2 trang 21 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Hãy áp dụng công thức cộng...

Đáp án:

cos 2 =cos + =cos cos   -sin sin  

=cos2⁡-sin2⁡.

Mà cos2⁡-sin2⁡=cos2⁡-1-cos2⁡=2cos2⁡-1.

Hoặc cos2⁡-sin2⁡=1-sin2⁡-sin2⁡=1-2sin2⁡.

+) sin⁡2=sin⁡(+)=sin⁡cos⁡+cos⁡sin⁡=2sin⁡cos⁡.

+) tan⁡2=tan⁡(+)=tan⁡+tan⁡1-tan⁡tan⁡=2tan⁡1-tan2⁡.

TH2 trang 22 Toán 11 tập 1 CTST

Tính cos⁡8...

Đáp án:

+) cos2⁡8=cos⁡4+12=22+12=2+24

Vì 0<8<2 nên cos⁡8>0. Do đó cos⁡8=2+22.

+) tan2⁡8=1cos2⁡8-1=42+2-1=3-22.

Vì 0<8<2 nên tan 8>0. 

Do đó tan⁡8=3-22=2-1.

3. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

KP3 trang 22 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu...

Đáp án:

1. a) 

cos⁡(-)+cos⁡(+)

=(cos⁡cos⁡+sin⁡sin⁡)+(cos⁡cos⁡-sin⁡sin⁡)

=2cos cos  

cos⁡(-)-cos⁡(+)

=(cos⁡cos⁡+sin⁡sin⁡)-(cos⁡cos⁡-sin⁡sin⁡)

=2sin⁡sin⁡

b)

sin - +sin +

=(sin⁡cos⁡-cos⁡sin⁡)+(sin⁡cos⁡+cos⁡sin⁡)

=2sin cos  

sin - -sin +

=(sin⁡cos⁡-cos⁡sin⁡)-(sin⁡cos⁡+cos⁡sin⁡)

=-2cos⁡sin⁡.

TH3 trang 22 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính giá trị của...

Đáp án:

sin 24cos 524 

=12sin 24-524 +sin 24+524

=12sin -6 +sin 4

=12-12+22=-1+24

sin 78sin 58 

=12cos 78-58 -cos 78+58

=12cos 4 -cos 32

=1222=24.

4. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

KP4 trang 22 sgk toán 11 tập 1 CTST

Áp dụng công thức biến đổi...

Đáp án:

+) cos⁡+2cos⁡-2=12cos⁡+2--2+cos⁡+2+-2=12(cos⁡+cos⁡).

+) sin⁡+2sin⁡-2=12cos⁡+2--2-cos⁡+2+-2=12(cos⁡-cos⁡).

+) sin⁡+2cos⁡-2

=12sin +2--2 +sin +2+-2

=12(sin⁡+sin⁡)

TH4 trang 23 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Tính cos 712 +cos 12

Đáp án:

cos 712 +cos 12

=2cos 712+122cos 712-122 

=2cos⁡3cos⁡4=2⋅1222=22.

VD trang 23 sgk toán 11 tập 1 CTST 

Trong bài toán khởi động...

Đáp án:

Đặt =BOB'. Ta có sin⁡=BB'OB=2760=920.

Vì 0<<90 nên cos⁡>0, suy ra cos⁡=1-sin2⁡=31920.

Khoảng cách từ C đến AH là hC=60⋅sin⁡2=60.2sin⁡cos⁡=2731910≈48,2( cm).