BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài tập 7 trang 42 sgk toán 11 CTST

Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng một phút. Chọn chiều quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu radian?

Đáp án:

Trong 1 giây, quạt quay được 4560=34 (vòng).

Trong 3 giây, quạt quay được 3⋅34=94 (vòng).

Vì quạt quay theo chiều dương nên góc quay của quạt sau 3 giây có số đo là 94⋅2=92.

 Bài tập 8 trang 42 sgk toán 11 CTST

Cho cosα...

Đáp án:

1. a) sin⁡=-1-cos2⁡=-1-132=-223;
2. b) sin⁡2=2sin⁡cos⁡=2⋅-22313=-429;
3. c) cos⁡+3=cos⁡cos⁡3-sin⁡sin⁡3=1312+22332=1+266.

Bài tập 9 trang 42 sgk toán 11 CTST

Chứng minh đẳng thức lượng giác...

Đáp án:

1. a) sin⁡(+)sin⁡(-)=(sin⁡cos⁡+cos⁡sin⁡)(sin⁡cos⁡-cos⁡sin⁡)

=sin2⁡cos2⁡-cos2⁡sin2⁡

=sin2⁡1-sin2⁡-1-sin2⁡sin2⁡

=sin2⁡-sin2⁡;

1. b) cos4⁡-cos4⁡-2=cos4⁡-sin4⁡=cos2⁡-sin2⁡cos2⁡+sin2⁡

=cos2⁡-sin2⁡=cos⁡2. 

 Bài tập 10 trang 43 sgk toán 11 CTST

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương...

Đáp án:

sin⁡x+6-sin⁡2x=0⇔sin⁡x+6=sin⁡2x

 x+6=2x+k2,kZ hoặc x+6=-2x+k2,kZ   x=6+k2,kZ hoặc x=518+k23,kZ.

Với x=6+k2,kZ, ta có x…;-116;6;136;….

Với x=518+k23,kZ, ta có x…;-718;518;1718;….

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là 6.

 Bài tập 11 trang 43 sgk toán 11 CTST

Giải các phương trình sau...

Đáp án:

1. a) sin⁡2x+cos⁡3x=0⇔cos⁡3x=-sin⁡2x⇔cos⁡3x=cos⁡2x+2

 ⇔3x=2x+2+k2,kZ hoặc 3x=-2x-2+k2,kZ   x=2+k2,kZ hoăc x=-10+k25,kZ;

1. b) sin⁡xcos⁡x=24⇔sin⁡2x=22

 ⇔2x=4+k2,kZ hoặc 2x=34+k2,kZ   x=8+kπ,kZ hoăc x=38+kπ,kZ;

1. c) sin⁡x+sin⁡2x=0⇔sin⁡2x=-sin⁡x⇔sin⁡2x=sin⁡(x+)

 ⇔2x=x++k2,kZ hoặc 2x=-x+k2,kZ   x=+k2,kZ hoặc x=k23,kZ.

 Bài tập 12 trang 43 sgk toán 11 CTST 

Độ sâu h (m) của mực nước ở một cảng biển...

Đáp án:

1. a) Vào thời điểm t=2, độ sâu của nước là 

h(2)=0,8cos⁡(0,5.2)+4≈4,43( m).

12. b) h(t)≥3,6⇔0,8cos⁡0,5t+4≥3,6⇔cos⁡0,5t≥-12.

Vì 0≤t≤12 nện 0≤0,5t≤6. Đặt x=0,5t và xét đồ thị hàm số 

y=cos⁡x trên đoạn [0;6] thư hình dưới đây.

Dựa vào đồ thị, ta thấy cos⁡x≥-12⇔0≤x23 hoăc 43x≤6.

Do đó 0≤t43 hoăc 83t≤12⇔0≤t≤4,19 hoặc 8,38≤t≤12.

Vậy có thể hạ thuỷ tàu sau t giờ tính từ lúc thuỷ triều lên với t thuộc [0;4,19] hoặc [8,38;12] (giờ).

 Bài tập 13 trang 43 sgk toán 11 CTST

Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn...

Đáp án:

1. a) Vận tốc của con lắc đạt giá trị lớn nhất là 3 cm/s khi sin⁡1,5t+3=-1.

Giải phương trình này ta được t=-59+k43,kZ.

Vì t≥0 nên t=79+k43,kN.

Vậy vào các thời điểm t=79+k43,kN thì vận tốc của con lắc đạt giá trị lớn nhất.

1. b) v=1,5⇔-3sin⁡1,5t+3=1,5

⇔sin⁡1,5t+3=-12

⇔1,5t+3=-6+k2,kZ họ̆c 1,5t+3=76+k2,kZ

t=-3+k43,kZ hoặc t=59+k43,kZ.

Vì t≥0 nên t=+k43,kN hoă̆ t=59+k43,kN.

Vậy vào các thời điểm t=+k43,kN hoặc t=59+k43,kN thì vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s.

 Bài tập 14 trang 43 sgk toán 11 CTST 

Trong Hình 1, cây xanh AB nằm trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5 m. Bóng của cây là BE...

Đáp án:

1. a) xE=5tan⁡z=5tan⁡12(t-12)
2. b) Vì 6<t<18 nên -2<12(t-12)<2.

Bóng cây phủ qua vị trí tường rào N khi và chỉ khi xg≤-4.

Ta có xR≤-4⇔5tan⁡12(t-12)≤-4

⇔tan⁡12(t-12)≤-45

Đặt u=12t-12 xét đồ thì hàm số y=tan u  trên -2;2 như hình vẽ

Dựa vào đồ thị, ta thấy tan u≤-452<u≤-0,7

Hay -2<12t-12≤-0,7. Suy ra t∈(6;9,3]

Vậy trong khoáng từ 6 giờ dến khoảng 9,3 giờ ( 9 giờ 18 phút) thì bóng cây phủ qua vị trí tường rào N.