Giáo án PPT dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

RẤT VUI GẶP LẠI CÁC EM TRONG TIẾT HỌC HÔM NAY!

BÀI TOÁN KHỞI ĐỘNG

Một cơ sở sản xuất bóng đèn đã làm ra 40% bóng đèn loại I và 60% bóng đèn loại II. Tỉ lệ bóng đèn loại I bị lỗi là 2%, tỉ lệ bóng đèn loại II bị lỗi là 1%. Người ta chọn ngẫu nhiên một bóng đèn từ tất cả bóng đã sản xuất.

1. Tính xác suất để bóng đèn đó bị lỗi.
2. Biết bóng đèn được chọn bị lỗi, hỏi khả năng bóng đèn đó thuộc loại I hay loại II là cao hơn?

Giải

a) Gọi các biến cố : “Bóng đèn được chọn là loại I” và : “Bóng đèn được chọn bị lỗi”.

Ta có:

Do đó: 

.

b) Nếu bóng đèn lấy ra bị lỗi, xác suất nó là bóng loại I bằng:

Xác suất bóng bị lỗi là bóng loại II là: 

Vì  >  nên khả năng bị lỗi là loại I cao hơn khả năng bóng bị lỗi là loại II. 

BÀI 2: CÔNG THỨC 
XÁC SUẤT TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES

I. HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

Nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài trước khi thực hiện các phiếu bài tập:

1. Trình bày công thức xác suất toàn phần.

2. Trình bày công thức Bayes.

1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TOÀN PHẦN

Cho hai biến cố  và  với  Khi đó 

gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý:

Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố  bất kì.

Ví dụ 1:

Cho hai biến cố  và  , với  . Tính

Giải

Ta có:

.

.

2. CÔNG THỨC BAYES

Giả sử và  là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn  và. Khi đó,

gọi là công thức Bayes.

Chú ý:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố  bất kì.

b) Với , công thức                                   cũng được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ 2:

Cho hai biến cố  và , với  . Tính

Giải

Ta có: 

.

.

II. LUYỆN TẬP VÀ VẬN DỤNG

DẠNG 1: Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần

• Cho hai biến cố  và  với  Khi đó: 

• Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố  bất kì.

Bài 1:

Khi trả lời một câu hỏi trong bài kiểm tra trắc nghiệm, học sinh có thể biết đáp án hoặc dự đoán đáp án. Các câu trắc nghiệm có 4 phương án nhưng chỉ có một đáp án. Giả sử xác suất Dũng biết đáp án là 0,6 và xác suất Dũng không biết đáp án là 0,4. Trong trường hợp không biết đáp án, Dũng sẽ dự đoán đáp án bằng cách chọn ngẫu nhiên một trong bốn phương án của đề đã cho. Tính xác suất để câu trả lời của Dũng là đúng.

Giải

Gọi là biến cố: “Câu hỏi đó Dũng biết đáp án”;

       là biến cố: “Câu trả lời của Dũng là đúng”. 

Khi đó: ; .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Bài 2:

Theo triệu chứng thì bệnh nhân A đã mắc một trong hai bệnh M hoặc N. Xác suất bệnh nhân mắc bệnh M là 0,3 và mắc bệnh N là 0,7. 

Biết rằng nếu mắc bệnh M thì khả năng tự khỏi bệnh trong vòng một tuần là 60%, nếu mắc bệnh N thì khả năng tự khỏi bệnh trong vòng một tuần là 90%. Tính xác suất để bệnh nhân đó tự khỏi bệnh trong một tuần. 

Giải

Gọi là biến cố: “Bệnh nhân đó mắc bệnh M”; 

là biến cố: “Bệnh nhân đó tự khỏi bệnh trong vòng một tuần”.

Khi đó .

.

Bài 3:

Một công ty bảo hiểm chia người dân thành hai nhóm, nhóm ít rủi ro và rủi ro. Số liệu thu thập được cho thấy trong 10 năm xác suất một người thuộc nhóm ít rủi ro và rủi ro gặp tai nạn tương ứng là 0,05 và 0,1. Cho biết 80% người dân thuộc nhóm ít rủi ro, 20% thuộc nhóm rủi ro. Tỉ lệ số người gặp tai nạn trong 10 năm là bao nhiêu? Ước lượng số người gặp tai nạn trong 10 năm của một tỉnh biết dân số của tỉnh đó là 100 000 người.

Giải

Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi là biến cố: “Người đó thuộc nhóm ít rủi ro”; là biến cố: “Người đó gặp tai nạn trong 10 năm”. 

.

.

Số người gặp tai nạn được ước lượng là:

(người).

Bài 4:

Một tín hiệu được mã hóa thành một trong hai số 0, 1 và phát đi. Qua mỗi trạm, thông tin sẽ được thu nhận và truyền mã số đến trạm kế tiếp theo quy tắc: xác suất 0,7 là giống mã số nhận được và với xác suất là 0,3 là mã số còn lại. Giả sử trạm ban đầu (trạm số 0) phát đi mã số là 0 sau đó truyền đến trạm 1 rồi lại tiếp tục trạm 1 lại truyền đến trạm 2...

a) Tính xác suất để trạm số 2 nhận được mã số 1.

b) Tính xác suất để trạm số 3 nhận được mã số 0.

Giải

a) Gọi là biến cố: “Trạm số nhận được tín hiệu 0”. Khi đó:

; .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có

.

b) .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có

.

DẠNG 2: Các bài toán liên quan đến công thức Bayes

Giả sử và  là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn  và. Khi đó:

Giả sử và  là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn  và. Khi đó:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố  bất kì.

b) Với , công thức                                   cũng được gọi là công thức Bayes.

--------------- Còn tiếp ---------------