Giáo án điện tử Toán 12 chân trời Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

CHÀO MỪNG CÁC EM 

ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG 

Một loại xét nghiệm nhanh SARS-CoV-2 cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus và kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus. Giả sử tỉ lệ người nhiễm virus SARS-CoV-2 trong một cộng đồng là 1%. Một người trong cộng đồng đó làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. 

Hỏi khả năng người đó thực sự nhiễm virus là cao hay thấp?

CHƯƠNG VI. 

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

BÀI 2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT 

TOÀN PHẦN VÀ CÔNG THỨC BAYES 

NỘI DUNG BÀI HỌC 

1. CÔNG THỨC 

XÁC SUẤT TOÀN PHẦN

                  Chị An trả lời hai câu hỏi. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ nhất là 0,7. Xác suất trả lời đúng câu hỏi thứ hai là 0,9 nếu chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất và là 0,5 nếu chị An không trả lời đúng câu hỏi thứ nhất.

Gọi là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ nhất” và là biến cố “Chị An trả lời đúng câu hỏi thứ hai”.

Hãy tìm các giá trị thích hợp điền vào các ô         ở sơ đồ hình cây sau:

Giải

Ta có .

Suy ra

               .

Ta có sơ đồ hình cây:

KẾT LUẬN 

Cho hai biến cố và với . Khi đó

gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý

Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố bất kì.

Ví dụ 1:Trong Hoạt động khởi động, hãy tính xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính.

Giải

                Gọi là biến cố “Người làm xét nghiệm có kết quả dương tính” và 

                        là biến cố “Người làm xét nghiệm thực sự nhiễm virus”.

Do xét nghiệm cho kết quả dương tính với 76,2% các ca thực sự nhiễm virus nên .

Do xét nghiệm cho kết quả âm tính với 99,1% các ca thực sự không nhiễm virus nên Suy ra

Do tỉ lệ người nhiễm virus trong cộng đồng là 1% nên 

và

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất người làm xét nghiệm có kết quả dương tính là

Thực hành 1. Vào mỗi buổi sáng ở tuyến phố H, xác suất xảy ra tắc đường khi trời mưa và không mưa lần lượt là 0,7 và 0,2. Xác suất có mưa vào một buổi sáng là 0,1. Tính xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường.

Giải

Gọi là biến cố “Sáng đó trời mưa”, 

       là biến cố “Sáng đó tuyến phố H bị tắc đường”.

Ta có:

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, xác suất để sáng đó tuyến phố H bị tắc đường là: 

2. CÔNG THỨC 

BAYES

HĐKP2.

Khảo sát thị lực của 100 học sinh, ta thu được bảng số liệu sau:

Chọn ngẫu nhiên 1 bạn trong 100 học sinh trên.

a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, tính xác suất bạn đó là học sinh nam.

b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, tính xác suất bạn đó có tật khúc xạ.

Giải

a) Biết rằng bạn đó có tật khúc xạ, xác suất bạn đó là học sinh nam 

b) Biết rằng bạn đó là học sinh nam, xác suất bạn đó có tật khúc xạ 

Bảng số liệu trên được gọi là bảng số liệu .

Từ bảng số liệu, ta thấy có 50 học sinh nam và 50 học sinh nữ tham gia khảo sát, trong đó có 12 + 18 = 30 học sinh có tật khúc xạ và 38 + 32 = 70 học sinh không có tật khúc xạ.

Gọi là biến cố “Học sinh được chọn bị tật khúc xạ” và là biến cố “Học sinh được chọn là nữ”. 

Từ bảng số liệu trên, ta tính được các xác suất sau:

Hơn nữa, ta cũng tính được các xác suất có điều kiện sau:

Một cách tổng quát, từ định nghĩa xác suất có điều kiện với , ta có

KẾT LUẬN 

Giả sử và là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn và . Khi đó,

gọi là công thức Bayes.

Chú ý:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố bất kì.

được gọi là công thức Bayes. 

Ví dụ 2:Một nhà máy có hai phân xưởng I và II. Phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1%. Kiểm tra ngẫu nhiên 1 sản phẩm của nhà máy.

a) Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.

b) Biết rằng sản phẩm được kiểm tra bị lỗi. Hỏi xác suất sản phẩm đó do phân xưởng nào sản xuất cao hơn?

Giải

                    a) Gọi là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra bị lỗi” và là biến cố “Sản phẩm được kiểm tra do phân xưởng I sản xuất”.

Do phân xưởng I sản xuất 40% số sản phẩm và phân xưởng II sản xuất 60% số sản phẩm nên

                Do tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của phân xưởng I là 2% và của phân xưởng II là 1% nên và

Xác suất để sản phẩm được kiểm tra bị lỗi là

b) Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng 

Nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II 

Vậy nếu sản phẩm được kiểm tra bị lỗi thì xác suất sản phẩm đó do phân xưởng I sản xuất cao hơn xác suất sản phẩm đó do phân xưởng II sản xuất.

Ví dụ 3:Trong Hoạt động khởi động, một người làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính. Tính xác suất người đó thực sự nhiễm virus (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Giải

Sử dụng kí hiệu các biến cố như ở Ví dụ 1.

Xác suất một người thực sự nhiễm virus khi người đó có kết quả xét nghiệm dương tính là . Ta có

Thực hành 2. Khi phát hiện một vật thể bay, xác suất một hệ thống radar phát cảnh báo là 0,9 nếu vật thể bay đó là mục tiêu thật và là 0,05 nếu đó là mục tiêu giả. Có 99% các vật thể bay là mục tiêu giả. Biết rằng hệ thống radar đang phát cảnh báo khi phát hiện một vật thể bay. Tính xác suất vật thể đó là mục tiêu thật.

--------------- Còn tiếp ---------------