Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “ Công thức xác suất toàn phần và công thức bayes” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1.Trình bày công thức xác suất toàn phần.

2.Trình bày công thức Bayes.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố và với Khi đó 

gọi là công thức xác suất toàn phần.

Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố bất kì.

Ví dụ 1: Cho hai biến cố và , với . Tính

Giải:

.

.

2. Công thức Bayes

Giả sử và là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn và. Khi đó,

gọi là công thức Bayes.

Chú ý:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố bất kì.

b) Với , công thức cũng được gọi là công thức Bayes.

Ví dụ 2: Cho hai biến cố và , với . Tính

Giải:

.

.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần

Phương pháp giải: 

Cho hai biến cố và với Khi đó 

Chú ý: Công thức xác suất toàn phần cũng đúng với biến cố bất kì.

Bài 1. Khi trả lời một câu hỏi trong bài kiểm tra trắc nghiệm, học sinh có thể biết đáp án hoặc dự đoán đáp án. Các câu trắc nghiệm có 4 phương án nhưng chỉ có một đáp án. Giả sử xác suất Dũng biết đáp án là 0,6 và xác suất Dũng không biết đáp án là 0,4. Trong trường hợp không biết đáp án, Dũng sẽ dự đoán đáp án bằng cách chọn ngẫu nhiên một trong bốn phương án của đề đã cho. Tính xác suất để câu trả lời của Dũng là đúng.

 Bài 2.  Theo triệu chứng thì bệnh nhân A đã mắc một trong hai bệnh M hoặc N. Xác suất bệnh nhân mắc bệnh M là 0,3 và mắc bệnh N là 0,7. Biết rằng nếu mắc bệnh M thì khả năng tự khỏi bệnh trong vòng một tuần là 60%, nếu mắc bệnh N thì khả năng tự khỏi bệnh trong vòng một tuần là 90%. Tính xác suất để bệnh nhân đó tự khỏi bệnh trong một tuần.

Bài 3. Một công ty bảo hiểm chia người dân thành hai nhóm, nhóm ít rủi ro và rủi ro. Số liệu thu thập được cho thấy trong 10 năm xác suất một người thuộc nhóm ít rủi ro và rủi ro gặp tai nạn tương ứng là 0,05 và 0,1. Cho biết 80% người dân thuộc nhóm ít rủi ro, 20% thuộc nhóm rủi ro. Tỉ lệ số người gặp tai nạn trong 10 năm là bao nhiêu? Ước lượng số người gặp tai nạn trong 10 năm của một tỉnh biết dân số của tỉnh đó là 100 000 người.

Bài 4. Một tín hiệu được mã hóa thành một trong hai số 0, 1 và phát đi. Qua mỗi trạm, thông tin sẽ được thu nhận và truyền mã số đến trạm kế tiếp theo quy tắc: xác suất 0,7 là giống mã số nhận được và với xác suất là 0,3 là mã số còn lại. Giả sử trạm ban đầu (trạm số 0) phát đi mã số là 0 sau đó truyền đến trạm 1 rồi lại tiếp tục trạm 1 lại truyền đến trạm 2...

a) Tính xác suất để trạm số 2 nhận được mã số 1.

b) Tính xác suất để trạm số 3 nhận được mã số 0.

DẠNG 1:

Bài 1. 

Gọi   là biến cố: “Câu hỏi đó Dũng biết đáp án”; là biến cố: “Câu trả lời của Dũng là đúng”. Khi đó: ; .

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

.

Bài 2.

Gọi   là biến cố: “Bệnh nhân đó mắc bệnh M”; là biến cố: “Bệnh nhân đó tự khỏi bệnh trong vòng một tuần”.

Khi đó .

.

Bài 3.

Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi là biến cố: “Người đó thuộc nhóm ít rủi ro”; là biến cố: “Người đó gặp tai nạn trong 10 năm”. 

.

.

Số người gặp tai nạn được ước lượng là:

(người).

Bài 4. 

a) Gọi là biến cố: “Trạm số nhận được tín hiệu 0”. Khi đó:

; .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có

.

b)  .

Theo công thức xác suất toàn phần ta có

.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Các bài toán liên quan đến công thức Bayes

Phương pháp giải: 

Giả sử và là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn và. Khi đó, .

Chú ý:

a) Công thức Bayes vẫn đúng với biến cố bất kì.

b) Với , công thức cũng được gọi là công thức Bayes.

Bài 1. Có hai chuồng thỏ. Chuồng thứ nhất có 3 thỏ trắng và 7 thỏ đen, chuồng thứ hai có 4 thỏ trắng và 5 thỏ đen. Tối hôm đó, một con thỏ từ chuồng thứ nhất nhảy sang chuồng thứ hai. Sáng hôm sau, Bình bắt ngẫu nhiên hai con thỏ từ chuồng thứ hai, thấy đó là hai con thỏ trắng. 

a) Tính xác suất con thỏ nhảy từ chuồng thứ nhất sang chuồng thứ hai là thỏ trắng.

b) Tính xác suất để hai con thỏ trắng đó đều là thỏ ở chuồng thứ hai.

Bài 2. Có hai hộp đựng bi, hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 10 viên bi đỏ, hộp thứ hai có 6 viên bi xanh và 8 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai sau đó chọn 3 viên từ hộp thứ hai.

a) Tính xác suất để trong ba viên bi đó đều là ba viên bi xanh.

b) Nếu biết trong ba viên bi đó có một viên bi đỏ và hai viên bi xanh, hãy tính xác suất để viên bi lấy từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là viên bi xanh.

Bài 3. Biết tỉ lệ bóng đèn do nhà máy Bình Minh sản xuất ra đạt tiêu chuẩn 80%. Để cải thiện chất lượng sản phẩm trước khi sản xuất ra thị trường, các bóng đèn do nhà máy sản xuất đều phải thực hiện kiểm tra chất lượng, những bóng đèn không qua được khâu kiểm tra sẽ bị loại bỏ, các bóng đèn qua khâu kiểm tra sẽ được đóng dấu KĐ và xuất ra thị trường. Vì khâu kiểm tra không tuyệt đối hoàn hảo nên nếu một bóng đèn đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 98% sẽ được đóng dấu KĐ, nếu một bóng điện không đạt tiêu chuẩn thì nó có xác suất 97% không được đóng dấu KĐ và bị loại bỏ. Chọn ngẫu nhiên một bóng đèn của nhà máy trên thị trường được đóng dấu KĐ. Tính xác suất bóng đèn đó đạt tiêu chuẩn.

Bài 4. Xét nghiệm máu cho khả năng phát hiện đến 95% một loại bệnh (tức một người mắc bệnh khi xét nghiệm máu thì xác suất 0,95 cho kết quả dương tính). Tuy nhiên xét nghiệm cũng cho những kết quả dương tính giả với 4% những người khỏe mạnh (tức là một người khỏe mạnh được tiến hành xét nghiệm thì xác suất 0,04 cho kết quả là dương tính). Cho biết 1% dân số thực sự mắc loại bệnh này. Một người xét nghiệm 3 lần thấy cả 3 kết quả là dương tính, hỏi rằng xác suất để người đó mắc bệnh là bao nhiêu?