Giáo án PPT dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 3: Phương trình mặt cầu

CHÀO MỪNG CÁC EM 
ĐẾN VỚI BÀI HỌC HÔM NAY!

BÀI TOÁN KHỞI ĐỘNG

Viết phương trình mặt cầu  trong các trường hợp sau:

a)  có tâm  và có bán kính bằng 5;

b)  có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm ;

c)  có đường kính  với .

Giải

a) Phương trình của mặt cầu có tâm  và bán kính bằng  là:

b) Ta có:

Phương trình mặt cầu đi qua gốc tọa độ và có bán kính  là:

c) Gọi  là trung điểm của . Suy ra .

Ta có:

Phương trình của mặt cầu có tâm  và bán kính bằng  là:

BÀI 3: 
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

I.

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

Nhắc lại nội dung lí thuyết cần ghi nhớ

1. Trình bày khái niệm mặt cầu.

2. Trình bày phương trình mặt cầu.

1. KHÁI NIỆM MẶT CẦU

Trong không gian, cho điểm  và số dương . Mặt cầu tâm , bán kính , kí hiệu , là tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn . Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm gọi là đường kính của mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu

• Nếu  thì  nằm trên mặt cầu.
• Nếu  thì nằm trong mặt cầu.
• Nếu  thì  nằm ngoài mặt cầu.

2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU

Trong không gian , mặt cầu tâm , bán kính  có phương trình là:

Phương trình  với  là phương trình của mặt cầu tâm , bán kính .

Ví dụ:

Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu :

.

Giải

Ta có:

.

Mặt cầu có tâm ; bán kính .

II. LUYỆN TẬP VÀ VẬN DỤNG

Dạng 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu

    Phương pháp giải:

• Trong không gian , mặt cầu tâm , bán kính  có phương trình là:

• Phương trình  với  là phương trình của mặt cầu tâm , bán kính .

Bài 1:

Trong không gian hệ trục tọa độ , phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm  và bán kính  của mặt cầu đó.

a)

b)

c)

Giải

a)

Mặt cầu có tâm và bán kính .

b) Phương trình  có dạng với ; ; ; .

Ta có:

Vậy phương trình mặt cầu đã cho có tâm và .

c)

Phương trình có dạng với ; ; ; .

Ta có:

Vậy phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.

Bài 2:

Gọi  là tâm mặt cầu  . Tính độ dài  ( là gốc tọa độ).

Giải

Mặt cầu  có tâm

Ta có:

Suy ra .

Bài 3:

Trong không gian với hệ tọa độ , tìm  để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a)

b)

Giải

a)

Ta có: 

.

Vậy phương trình trên là phương trình mặt cầu với mọi

b)

Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì

hoặc .

Bài 4:

Trong không gian hệ trục tọa độ , tìm tất cả các giá trị thực của tham số  để phương trình  là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Giải

Ta có:

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì 

luôn đúng .

Khi đó . Dấu  xảy ra khi .

Vậy mặt cầu có bán kính nhỏ nhất  khi .

Dạng 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

    Phương pháp giải:

Phương pháp hình học:

Bước 1:  Tính khoảng cách từ tâm của  đến

Bước 2: 

• Nếu  thì  không cắt
• Nếu  thì  tiếp xúc
• Nếu  thì  cắt .

Phương pháp đại số:

Bước 1: Thay  từ phương trình tham số của  vào phương trình  khi đó ta được phương trình bậc hai theo ẩn

Bước 2: 

• Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm thì  không cắt
• Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm thì  tiếp xúc
• Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì  cắt

Bài 1:

Trong không gian với hệ tọa độ , xét vị trí tương đối của mặt cầu :  và đường thẳng .

Giải

Gọi . Thay tọa độ vào , ta được:

hoặc

Vậy cắt tại hai điểm phân biệt.

--------------- Còn tiếp ---------------