Giáo án PPT dạy thêm Toán 9 Chân trời bài 3: Hình cầu

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI

KHỞI ĐỘNG 

Một quả bóng rổ (khi bơm căng) có đường kính . Tìm thể tích của quả bóng rổ đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trả lời

Bán kính của quả bóng rổ khi bơm căng là

Thể tích quả bóng rổ khi bơm căng là:

BÀI 3 HÌNH CẦU

1

HÌNH CẦU

Khi quay nửa hình tròn tâm O, bán kính R một vòng quanh đường kính AB cố định ta được một hình cầu tâm O, bán kính R

Khi đó, nửa đường tròn quét thành một mặt cầu. Ta cũng gọi O và R lần lượt là tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Đoạn thẳng đi qua tâm của hình cầu với hai đầu mút nằm trên mặt cầu gọi là đường kính của hình cầu (hay mặt cầu).

Phần chung của mặt phẳng và hình cầu

Khi cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì phần chung của mặt cầu và mặt phẳng (còn gọi là mặt cắt) là một hình tròn.

2

DIỆN TÍCH CỦA MẶT CẦU

Diện tích S của mặt cầu có bán kính R là:

Tính diện tích bề mặt của một quả bóng có bán kính là 8 cm.

Trả lời

Diện tích bề mặt của quả bóng là:

cm²

3

THỂ TÍCH CỦA HÌNH CẦU

Thể tích của hình cầu có bán kính R là: 

Một quả bóng có dạng hình cầu, có đường kính là 20 cm. Hỏi thể tích của quả bóng là bao nhiêu cm³.

Trả lời

Thể tích của quả bóng là:

cm³

BÀI TẬP LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tính toán diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu

Phương pháp giải:

Diện tích S của mặt cầu có bán kính R là:  

Thể tích của hình cầu có bán kính R là:  

Bài 1: Hai hình cầu có hiệu các bán kính bằng 3cm và hiệu các thể tích bằng . Tính hiệu các diện tích của hai mặt cầu.

Trả lời

Gọi bán kính của hình cầu lớn là R và bán kính của hình cầu nhỏ là r.

Ta có  hay

Thể tích hình cầu lớn là

Thể tích hình cầu nhỏ là

Vì  nên  hay

Do đó  hay

(nhận) hoặc  (loại)

Vậy bán kính hình cầu nhỏ là 9cm. Bán kính hình cầu lớn là 12cm.

Diện tích mặt cầu lớn là

Diện tích mặt cầu nhỏ

Hiệu diện tích của hai mặt cầu là:

Bài 2: Một hình cầu nội tiếp một hình nón bán kính đáy bằng 6cm và đường sinh bằng 10cm. Chứng minh rằng diện tích đáy của hình nón bằng diện tích của mặt cầu.

Trả lời

Vì hình cầu nội tiếp hình nón nên: 

OH ⊥ BC, OD ⊥ AB

Ta có

Gọi bán kính đáy hình nón là R, bán kính hình cầu là r. 

Ta có

Xét  và  có: 

chung và

=>  ∾  (g.g) =>

Do đó  =>

Diện tích đáy hình nón là

Diện tích mặt cầu là

Vậy diện tích đáy hình nón bằng diện tích mặt cầu.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi H là giao điểm của AD và BC. Quay hình vẽ một vòng quanh đường kính AD cố định ta được hai hình nón nội tiếp một hình cầu. Biết AH = 24cm; DH = 6cm, hãy tính:

a) Thể tích của hình cầu được tạo thành;

b) Thể tích hình nón đỉnh A đáy là hình tròn đường kính BC.

Trả lời

a) Tam giác ABC cân tại A, AD là đường kính nên AD ⊥ BC.

Ta có  (vì  là đường kính)

Xét  và  có: 

(cùng phụ với )

=>  ∾  (g.g) 

Do đó  =>

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp  là: 

Thể tích của hình cầu tạo thành là: 

b) Thể tích của hình nón đỉnh A là: 

Bài 4: Cho một hình cầu nội tiếp một hình trụ. Chứng minh rằng:

a) Thể tích hình cầu bằng  thể tích hình trụ;

b) Diện tích mặt cầu bằng  diện tích toàn phần hình trụ.

Trả lời

Gọi bán kính hình cầu là R thì bán kính đáy hình trụ là R và chiều cao của hình trụ là 2R.

a) Thể tích hình cầu:

Thể tích hình trụ là

Trả lời

Ta có

b) Diện tích mặt cầu là

Diện tích hình trụ là

Ta có

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB = 24cm. Lấy điểm C nằm giữa A và B. Vẽ về cùng một phía của AB ba nửa đường tròn đường kính AB, AC và BC. Quay toàn bộ hình vẽ một vòng quanh đường kính AB cố định ta được ba hình cầu. Tìm thể tích lớn nhất của phần không gian được giới hạn bởi ba hình cầu.

Trả lời

Đặt thì

Bán kính của nửa đường tròn đường kính AB là 12cm. 

Bán kính của nửa đường tròn đường kính AC là . 

Bán kính của nửa đường tròn đường kính BC là .

Thể tích của ba hình cầu đường kính AB, AC và BC lần lượt là:

Thể tích phần không gian giới hạn bởi ba hình cầu là:

khi và chỉ khi  min; hay  min

Khi đó  thỏa mãn điều kiện.

Khi đó  = 1728π cm³ khi AC = 12cm hay khi C là trung điểm của AB.

Bài 6: Cắt hình cầu tâm O bởi một mặt phẳng ta được một hình tròn tâm K, đường kính AB. Biết OK = 9cm và diện tích hình tròn tâm K bằng 16% diện tích mặt cầu. Tính diện tích mặt cầu.

Trả lời

Xét ∆AOB cân tại O có KA = KB nên OK ⊥ AB.

Gọi R là bán kính hình cầu, r là bán kính hình tròn (K). 

Xét ∆KOA vuông tại K ta có:

Diện tích hình tròn (K) là:

Diện tích mặt cầu là:

Vì S1 =16% nên

Thu gọn phương trình này ta được . Suy ra

Do đó diện tích mặt cầu là

Bài 7: Người ta cắt một quả địa cầu cũ bằng một mặt phẳng theo một vĩ tuyến và được một phần có dạng hình chảo, đường kính miệng chảo là 24cm và độ sâu nhất của chảo là 8cm. Tính diện tích bề mặt của quả địa cầu.

Trả lời

Mặt cắt qua tâm là hình tròn tâm O với AB là đường kính miệng chảo. 

Vẽ bán kính OC ⊥ AB tại K. 

Ta có

Gọi  là bán kính quả địa cầu

Xét  vuông tại  ta có:

--------------- Còn tiếp ---------------