Nội dung chính Toán 12 chân trời Bài 2: Tích phân

CHƯƠNG IV: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

BÀI 2: TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

Cho hàm số liên tục và không âm trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được gọi là hình thang cong.

- Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi

trong đó là một nguyên hàm của trên đoạn .

2. Khái niệm tích phân

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Nếu là một nguyên hàm của trên đoạn thì hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số , kí hiệu .

- Hiệu số còn được kí hiệu là .
Vậy .
- Ta gọi là dấu tích phân, và là cận tích phân, là cận dưới, là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

a) Trong trường hợp hoặc , ta quy ước

b) Người ta chứng minh được rằng, tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận mà không phụ thuộc vào biến số hay , nghĩa là .

c) Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Vậy

Chú ý:

a) Nếu hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thì

b) Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm . Do đó, nếu biết tốc độ tại mọi thời điểm thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ đến theo công thức

.

3. Tính chất của tích phân

Tính chất 1

Cho hàm số liên tục trên đoạn là số thực. Khi đó:

Tính chất 2

Cho hai hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó:

Tính chất 3

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó,