Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 2: Tích phân

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Tích phân” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Trình bày khái niệm tích phân, ý nghĩa của tích phân.

2.Trình bày tính chất của tích phân.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Khái niệm tích phân

Cho hàm số liên tục trên đoạn   Nếu là một nguyên hàm của trên đoạn thì hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số , kí hiệu .

Hiệu số còn được kí hiệu là  

Ta gọi à dấu tích phân,   và là cận tích phân, là cận dưới, là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

a) Trong trường hợp hoặc , ta quy ước:

b) Người ta chứng minh được rằng, tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận mà không phụ thuộc vào biến số hay , nghĩa là .

c) Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi:  trong đó là một nguyên hàm của trên đoạn

d) Nếu hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn   thì

e) Đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm Do đó, nếu biết tốc độ tại mọi thời điểm   thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng từ đến theo công thức:

Ví dụ 1: Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

Giải:

Hàm số liên tục, dương trên đoạn và có một nguyên hàm .

Khi đó diện tích hình thang cong cần tìm là:

. 

Ví dụ 2: Một ô tô đang chạy thì người lái xe đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc (m/s), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bằng đầu đạp phanh. Gọi là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Giải:

Xe dừng khi hay 

(.

Từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, quãng đường ô tô còn di chuyển là:

(m)

2. Tính chất của tích phân

Tính chất 1:

Cho hàm số liên tục trên đoạn   là số thực. Khi đó:

Tính chất 2:

Cho hai hàm số liên tục trên đoạn  . Khi đó:

Tính chất 3: 

Cho hai hàm số liên tục trên đoạn  , . Khi đó:

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:

a) 

b)

c)

d)

Giải: 

a)

.

b)

.

c)

d)

hoặc .

Bảng xét dấu:

	0		1		3
			0	+

DẠNG 1: Tích phân dạng cơ bản

Phương pháp giải: 

Cho hàm số liên tục trên đoạn   Nếu là một nguyên hàm của trên đoạn thì:

Như vậy, để tính tích phân của hàm số ta cần:

Bước 1: Xác định là nguyên hàm của hàm số.

Bước 2. Tính

Bài 1. Tính các tích phân sau:

a)

b)  

c)  

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

Bài 3. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

Bài 4. Tìm các giá trị của   sao cho .

Bài 5. Cho tích phân Chứng minh rằng .

Bài 6. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng

DẠNG 1:

Bài 1.

a)

b)

c)

Bài 2.

a)

b)

c)

Bài 3.

a)

b) .

c)

,

Bài 4.

Mà

Suy ra

Suy ra hoặc .

Vậy .

Bài 5.

Suy ra .

Do đó (đpcm).

Bài 6.

Hàm số liên tục, dương trên đoạn và có một nguyên hàm .

Khi đó diện tích hình thang cong cần tìm là:

. 

DẠNG 2: Phương pháp đổi biến số dạng 1

Phương pháp giải: 

Nếu hàm số đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho thì .

Bài 1. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

Bài 3. Tính các tích phân sau:

a)

b

c)

d)

Bài 4. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

d)

DẠNG 2:

Bài 1. 

a) Đặt suy ra hay .

Đổi cận suy ra .

.

b) Đặt suy ra .

Đổi cận suy ra .

c) Đặt suy ra hay

Đổi cận suy ra .

.

d) Đặt suy ra .

Đổi suy ra .

Bài 2.

a) Đặt suy ra .

Đổi cận suy ra

b) Đặt suy ra . Do đó .

Đổi cận suy ra .

c) Đặt suy ra .

Đổi cận suy ra

.

d) Đặt suy ra .

Đổi cận suy ra .

Bài 3.

a) Đặt suy ra . Do đó, .

Đổi cận suy ra .

b) Đặt suy ra . Do đó, .

Đổi cận suy ra .

c) Đặt suy ra hay .

Đổi cận suy ra

d) Đặt suy ra . Do đó .

Đổi cận suy ra .

Bài 4.

a)

Đặt

Đổi cận suy ra .

b)

Đặt

Đổi cận suy ra .

c)

.

Đặt suy ra .

.

Vậy .

d) Đặt suy ra hay .

Đổi cận suy ra .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Phương pháp đổi biến số dạng 2

Phương pháp giải: 

Nếu: 1) Hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn

2) Hàm hợp được xác định trên

3)

thì .

Bài 1. Tính các tích phân sau:

a)

b)

Bài 2. Tính các tích phân sau:

a)

b)

Bài 3. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)

Bài 4. Tính các tích phân sau:

a)

b)

c)