Nội dung chính Toán 12 chân trời Bài 1: Phương trình mặt phẳng

CHƯƠNG V: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Cho mặt phẳng .

• Nếu vectơ khác 0 và có giá vuông góc với thì được gọi là vectơ pháp tuyến của .

• Nếu hai vectơ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong () thì được gọi là cặp vectơ chỉ phương của ().

Chú ý:

a) Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó hoặc biết một điểm và một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó.

b) Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của .

2. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian , nếu mặt phẳng nhận hai vectơ làm cặp vectơ chỉ phương thì nhận vectơ

làm vectơ pháp tuyến.

Chú ý:

a) Vectơ được gọi là tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là .

b) Biểu thức thường được kí hiệu là . Tương tự, , . Như vây, ta có thể viết:

c) và cùng phương .

d) Nếu thì và .

3. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian , mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng , trong đó không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Nhận xét

a) Mỗi phương trình (trong đó không đồng thời bằng 0) đều xác định một mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến.

b) Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là . Khi đó

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian , phương trình mặt phằng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là

với .

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua và biết cặp vectơ chỉ phương

Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương , ta thực hiện như sau:

• Tìm một vectơ pháp tuyến .

• Viết phương trình đi qua và có vectơ pháp tuyến

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trinh tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, ta thực hiện như sau:

• Tìm cặp vectơ chỉ phương, chẳng hạn .

• Tìm một vectơ pháp tuyến .

• Viết phương trình đi qua và có vectơ pháp tuyến .

4. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian , cho hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là

Khi đó

Chú ý:

.
cắt và không cùng phương.

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian , cho hai mặt phẳng

và có vectơ pháp tuyến lần lượt là  .
Khi đó .

5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian , cho mặt phẳng có phương trình và điểm . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính theo công thức: