Nội dung chính Toán 12 chân trời Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

CHƯƠNG V: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. Phương trình đường thẳng trong không gian

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa:

Vectơ khác có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được goi là vectơ chỉ phương của .

Chú ý:

Nếu là vectơ chỉ phương của thì cũng là vectơ chỉ phương của .

Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa

Trong không gian , phuơng trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương có dạng:

Chú ý:

a) Trong phương trình tham số của đường thẳng 

mỗi giá trị của tham số xác định duy nhất một điểm trên và ngược lại.

b) Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết .

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Định nghĩa

Trong không gian , cho đường thằng đi qua và có vectơ chỉ phương .
Nếu đều khác 0 thì hệ phương trình

gọi là phurơng trình chính tắc của đường thẳng .

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian , đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt , có vectơ chỉ phương là và có phương trình tham số:

Nếu thì có phương trình chính tắc:

.

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và .

Gọi là một điểm trên .
Ta có:

Chú ý:

Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chi phương , đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

a) Nếu ba vectơ cùng phương thì .
b) Nếu hai vectơ cùng phương và hai vectơ không cùng phương thì .

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.

Cho hai đường thẳng và có phương trình tham số lần lượt là:

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của và .

Xét hệ phương trình ẩn và

• và cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

• và chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Chú ý:

Để xét vị trí tương đối của và , trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của và

a) Nếu và cùng phương thi và hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu và ' không cùng phương thi và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Chú ý:

Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương , đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Trong trường hợp , không cùng phương, nghĩa là , ta có:

• Nếu thi và cắt nhau.

• Nếu thì và chéo nhau.

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và . Ta có

3. Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng và có vectơ chi phương lần lượt là và được tính bởi công thức:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Góc giữa đường thẳng có vectơ chì phương và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến được tính bởi công thức:

Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là và được tinh bời công thức:

Chú ý:

Nếu hai mặt phẳng và có hai vectơ pháp tuyến vuông góc thì .