Giáo án Toán 12 chân trời Bài 2: Tích phân

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thanh HĐKP1. GV hướng dẫn

b) xác định chiều cao, độ dài đáy lớn, đáy nhỏ theo . Từ đó tính

- GV dẫn dắt: Ta thấy được mối quan hệ giữa S(3) và nguyên hàm của hàm số Ta có thể mở rộng kết quả này.

- GV giới thiệu về hình thang cong.

- GV nêu cách xây dựng công thức tính diện tích S của hình thang cong:

Kí hiệu là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng vuông góc với trục tại các điểm có hoành độ là và . 

Ta được hàm số xác định trên đoạn .

Tổng quát kết quả của HĐKP1, người ta chứng minh được rằng:

là môt nguyên hàm của hàm số trên đoạn .

Giả sử là một nguyên hàm của trên . Khi đó, tồn tại hằng số sao cho . 

Vì nên hay .
Từ đó, .

- HS quan sát Ví dụ 1, làm Thực hành 1.

+ Xác định hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

+ Từ đó muốn tính diện tích hình thang cong, ta tìm nguyên hàm của hàm f(x) và tính

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Diện tích hình thang cong

HĐKP 1:

a) .
b) .
c) với mọi . Từ đó, là một nguyên hàm của hàm số .

d)

.

Vậy có thể tính bởi khi biết một nguyên hàm của .

Kết luận:

Cho hàm số liên tục và không âm trên đoạn . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được gọi là hình thang cong.

- Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng được tính bởi

trong đó là một nguyên hàm của trên đoạn .

Ví dụ 1 (SGK -tr.13)

Thực hành 1

Ta có hàm số liên tục, nhận giá trị dương trên và có một nguyên hàm là . Do đó, diện tích hình thang cong cần tìm là .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐKP 2.

- Từ kết quả trên, tổng quát về hiệu số giữa , với F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x).

GV giới thiệu khái niệm tích phân, kí hiệu, các thuật ngữ liên quan.

- GV dẫn dắt đi đến chú ý:

+ Tính

So sánh và

+ Nhấn mạnh: , tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận mà không phụ thuộc vào biến số hay .

+ Từ kết quả mục 1 và khái niệm vừa học, nhận thấy ý nghĩa hình học của tích phân.

- HS quan sát Ví dụ 2: các bước tính tích phân là:

+ Tìm nguyên hàm của hàm số.

+ Thay cận trên và cận dưới vào hàm vừa tìm được và tính hiệu.

- GV dẫn dắt đến chú ý:

+ Tính

+ Có tốc độ tại mọi thời điểm thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ đến thế nào?

- HS quan sát Ví dụ 3: vận dụng tích phân và mối quan hệ giữa tốc đội, quãng đường.

- GV giới thiệu về: giá trị trung bình của hàm số trên đoạn .

- HS thực hiện Thực hành 2 và Vận dụng 1.

+ TH2: tính tích phân dựa vào khái niệm.

+ VD 1: Tìm quãng đường dựa vào tích phân.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, suy nghĩ trả lời câu hỏi, hoàn thành các yêu cầu.

- GV: quan sát và trợ giúp HS. 

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

2. Khái niệm tích phân

HĐKP 2:

Chẳng hạn lấy và .
Ta có .
Vậy .

Kết luận

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Nếu là một nguyên hàm của trên đoạn thì hiệu số được gọi là tích phân từ đến của hàm số , kí hiệu .

- Hiệu số còn được kí hiệu là .
Vậy .
- Ta gọi là dấu tích phân, và là cận tích phân, là cận dưới, là cận trên, là biểu thức dưới dấu tích phân và là hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý:

a) Trong trường hợp hoặc , ta quy ước

b) Người ta chứng minh được rằng, tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và các cận mà không phụ thuộc vào biến số hay , nghĩa là .

c) Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số liên tục và không âm trên đoạn thì là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng .

Vậy

Ví dụ 2 (SGK -tr.15)

Chú ý:

a) Nếu hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn thì

b) Ta đã biết rằng, đạo hàm của quãng đường di chuyển của vật theo thời gian bằng tốc độ của chuyển động tại mỗi thời điểm . Do đó, nếu biết tốc độ tại mọi thời điểm thì tính được quãng đường di chuyển trong khoảng thời gian từ đến theo công thức

.

Ví dụ 3 (SGK -tr.15)

Nhận xét:

Cho hàm số liên tục trên đoạn . Khi đó được gọi là giá trị trung bình của hàm số trên đoạn .

Thực hành 2:

a)

c) .

Vận dụng 1

a) Quãng đường xe đi được sau giây là

Với thì . 

Với thì .
b) Tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian từ đến là:

 .