Bài tập file word Toán 12 cánh diều Bài 3: Phương trình mặt cầu

1. NHẬN BIẾT (3 câu)

Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ , xác định toạ độ tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a)

b)

Trả lời:

a) Tâm và bán kính

b) Ta có:

Vậy mặt cầu có tâm và bán kính

Câu 2: Trong không gian , cho hai điểm và . Lập phương trình mặt cầu đường kính .

Trả lời:

Mặt cầu đường kính có tâm là trung điểm của và bán kính .

Do đó mặt cầu có phương trình là: 

Câu 3: Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

a)

b)

c)

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho mặt cầu và hai điểm , . 

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Xác định vị trí của hai điểm so với mặt cầu.

Câu 2: Trong không gian với hệ trục toạ độ , lập phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .

Câu 3: Trong không gian với hệ trục toạ độ , lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:

a) có tâm và bán kính

b) có tâm thuộc trục và đi qua hai điểm

c) có đường kính với và

Câu 4: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho mặt cầu và mặt phẳng .

a) Xác định toạ độ tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Xác định vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng

Câu 5. Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho mặt cầu và đường thẳng . Tìm số điểm chung của và .

3. VẬN DỤNG (8 câu)

Câu 1: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian.

Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Giả sử trong không gian với hệ toạ độ , cho bốn vệ tinh , . Tìm toạ độ của điểm trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm lần lượt là , , , .

Câu 2: Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục toạ độ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở một vị trí phù hợp thì tâm bão có toạ độ .

a) Lập phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật từ cấp 12 trở lên khoảng 100 km tính từ tâm bão.

b) Tại một vị trí có tọa độ thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão được mô tả ở câu a) hay không?

…………………………….