Giáo án và PPT Toán 7 kết nối Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

BÀI 34. SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG MỘT TAM GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu 

Hình 9.26 mô phỏng một miếng bìa hình tam giác ABC đặt thăng bằng trên giá nhọn tại điểm G. 

Điểm đó được xác định như thế nào và có gì đặc biệt?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác.

- GV đặt câu hỏi hướng dẫn HS tìm hiểu: Trình bày định nghĩa đường trung tuyến của tam giác.

- GV cho  HS tìm hiểu "Sự đồng quy của ba đường trung tuyến", yêu cầu HS thực hành và trả lời câu hỏi theo nhóm bốn các HĐ1, HĐ2.

- GV đặt câu hỏi: Trình bày Định lí 1 về sự đồng quy của ba đường trung tuyến.

- GV lưu ý cho HS tên gọi điểm đồng quy của ba đường trung tuyến.

- GV hướng dẫn, yêu cầu HS đọc hiểu Ví dụ 1 theo nhóm đôi và trình bày vào vở để hiểu và biết cách trình bày dạng toán.

- GV yêu cầu HS tự hoàn thành Luyện tập 1 để hình thành và rèn luyện kĩ năng sử dụng Định lí 1.

- GV tổ chức cho HS trao đổi, thảo luận theo nhóm trả lời phần Tranh luận và tìm ra các cách tìm trọng tâm của một tam giác.

- GV tổ chức cho HS vận dụng kiến thức đã học ở trên luyện tập, thực hành cắt mảnh bìa tam giác như tình huống mở đầu, trả lời câu hỏi hoàn thành bài Vận dụng 1.

Sản phẩm dự kiến:

• Đường trung tuyến của tam giác

Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC, gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC (H.9.27)

?

Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.

• Sự đồng quy của ba đường trung tuyến

HĐ1. HS thực hành

Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

HĐ2.

• Ta có: MB = MC và M nằm giữa B và C 
• M là trung điểm của BC.

AM có là đường trung tuyến của tam giác ABC (định nghĩa)

• Ta có:

Định lí 1:

Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Chú ý: 

Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

Ví dụ 1: (SGK – tr73)

Luyện tập 1:

Vì G là trọng tâm của ABC (gt)

  hay GB = NB

Ta có: GN = NB – GB = NB - NB = NB

1 = NB NB = 3 cm

GB = NB = . 3 = 2 (cm).

Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.

Tranh luận:

Cách 1: Tìm giao điểm của 2 đường trung tuyến.

Cách 2: Vẽ 1 đường trung tuyến. Lấy điểm G cách đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó

Ta được G là trọng tâm tam giác.

Vận dụng 1:

+ Cắt mảnh bìa hình tam giác. 

+ Kẻ 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại G.

+ Đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm G 

ta thấy mảnh bìa thăng bằng.

Hoạt động 2: Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác

- GV đưa ra câu hỏi: Trình bày khái niệm đường phân giác trong tam giác.

- GV cho  HS tìm hiểu "Sự đồng quy của ba đường phân giác", yêu cầu HS thực hành và trả lời câu hỏi HĐ3.

- GV đưa ra câu hỏi: Trình bày Định lí 2 về sự đồng quy của ba đường phân giác.

- GV hướng dẫn, yêu cầu HS đọc hiểu Ví dụ 2 theo nhóm đôi và trình bày vào vở.

- GV yêu cầu HS tự hoàn thành Luyện tập 2 để hình thành và rèn luyện kĩ năng sử dụng Định lí 2.

- GV tổ chức cho HS trao đổi, thảo luận theo nhóm hoàn thành bài Vận dụng 2.

Sản phẩm dự kiến:

• Đường phân giác của tam giác

Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác  (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC (H.9.32)

?

Mỗi tam giác có 3 đường phân giác.

( Vì từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường phân giác của tam giác nên mỗi tam giác có 3 đường phân giác).

• Sự đồng quy của ba đường phân giác

HĐ3: HS thực hành theo hướng dẫn.

Ba nếp gấp đi qua cùng một điểm.

Định lí 2:

Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Ví dụ 2: SGK - tr75

Luyện tập 2:

Xét tam giác ABC có:

AM là phân giác

BN là phân giác

AM 

BN = {I}

CI cũng là đường phân giác của tam giác. (tính chất đồng quy của 3 đường phân giác).

Vận dụng 2:             

Vì ΔABC đều AB = AC = BC (tính chất tam giác đều)

Vì I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC.

Áp dụng ví dụ 2, ta được, AI là đường trung tuyến của ΔABC

Tương tự, ta cũng được BI, CI là đường trung tuyến của ΔABC

Vậy I là giao điểm của ba đường đường trung tuyến của ΔABC nên I là trọng tâm của ΔABC.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em chọn phát biểu đúng:

A. H là trọng tâm của ΔABC

B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC

C. CH là đường cao của ΔABC

D. CH là đường trung trực của ΔABC

Câu 2: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng

A. AI > AK

B. AI < AK

C. AI = 2AK

D. AI = AK

Câu 3: Trực tâm của tam giác là giao của ba đường nào?

A. ba đường trung tuyến

B. ba đường phân giác

C. ba đường cao

D. ba đường trung trực

Câu 4: Cho ΔABC, hai đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC. Em hãy chọn câu sai:

A. BM = MC

B. ME = MD

C. DM = MB

D. M không thuộc đường trung trực của DE

Câu 5: Cho ΔABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và AC cắt nhau tại O. Chọn câu đúng

A. AO là đường trung tuyến của tam giác ABC

B. AO là đường trung trực của tam giác ABC

C. AO⊥BC

D. AO là tia phân giác của góc A

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Có hai con đường cắt nhau (tại vị trí A) và cùng cắt một con sống tại hai địa điểm khác nhau B và C. Hãy tìm một địa điểm để xây dựng một đài quan sát sao cho khoảng cách từ địa điểm đó đến hai con đường và đến sông bằng nhau. Có tất cả mấy địa điểm như vậy?

Câu 2: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Gọi ba điểm M, N, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I đến các đường thẳng AB, AC, BC, biết IN = x + 5 và IM = 3x – 1. Tìm x.