Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Chương 2 Bài 1: Dãy số

THÂN MẾN CHÀO ĐÓN CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

+ Hãy cho ví dụ về một dãy số bằng hệ thức truy hồi. 

+ Cho dãy số (u_n ) với u_n=1/n,∀n∈N^∗ . Dãy số là dãy tăng hay giảm, dãy có bị chặn không? 

CHƯƠNG II: DÃY SỐ.  

CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 

BÀI 1. DÃY SỐ 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Định nghĩa dãy số

- Hàm số u xác định trên tập hợp N^∗  được gọi là một dãy số vô hạn,  
u: N^∗→R 

n↦u_n=u(n) 

+ kí hiệu (u_n). 

+ Dạng khai triển: u_1,u_2,…,u_n,… 

Ví dụ: dãy các số tự nhiên chia hết cho 3 

          Chú ý:  

+ Số u_1=u(1) gọi là số hạng đầu, u_n=u(n) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số. 

+ (u­n) là dãy số không đổi: ∀n∈N^∗, u_n=c. 

- Mỗi hàm số u xác định trên tâp M={1;2;3;…,m} với m∈N^∗ được gọi là một dãy số hữu hạn. 

+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u_1,u_2,…,u_m. Số u_1 gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối.  

Ví dụ: dãy các số tự nhiên chia hết cho 3 nhỏ hơn 30. 

2. Cách xác định dãy số

- Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các däy hữu hạn và có ít số hạng); 

- Công thức của số hạng tổng quát; 

- Phương pháp mô tả 

- Phương pháp truy hồi 

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (u_n ) được gọi là dãy số tăng nếu u_(n+1)>u_n  ∀n∈N^∗. 

Ví dụ: Dãy số u_n=3n+9 là dãy số tăng. 

- Dãy số (u_n ) được gọi là dãy số giảm u_(n+1)<u_n ∀n∈N^∗. 

Ví dụ: Dãy số u_n=-3n+2 là dãy số giảm. 

4. Dãy số bị chặn

- Dãy số (u_n ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n≤M với mọi n∈N^∗ 

- Dãy số (u_n ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n≥m với mọi n∈N^∗ 

- Dãy số (u_n ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên,  

vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao cho  

m≤u_n≤M với mọi n∈N^∗ 

Ví dụ: Dãy số u_n=cos⁡2n  là dãy bị chặn 

LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xác định số hạng của dãy số 

Bài 1. Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sau: 

a)u_n=(2n-1)/(n+1)      b) {█(&u_1=u_2=1@&u_n=u_(n-1)+u_(n-2) )┤(n>2) 

Giải 

1. a) 1/2;1;5/4;7/6;3/2
2. b) 1;1;2;3;5

Bài 2. Dự đoán số hạn tổng quát của các dãy số sau: 

1. a) (u_n):1;2;4;8;16;......

b)(u_n):(-1)/2;1/3;(-1)/4;1/5;... 

1. c) (u_n){█(&u_1=3@&u_(n+1)=2u_n )┤(n≥1)

Giải 

a)u_n=2^(n-1) 

b)u_n=((-1)^n)/(n+1) 

c)u_n=3.2^(n-1) 

Ví dụ   u_1=3;u_2=2.3 
u_3=2u_2=2.2.3=2^2.3 
u_4=2u_3=2.2^2.3=2^3.3 
... 
u_n=2^(n-1).3 

Bài 3. a) Cho dãy số (y_n ) xác định bởi y_n=(2^n-1)/(2^n+1)(n∈N∗). Xác định năm số hạng đầu của dãy số (y_n ). 

1. b) Cho dãy số (y_n ) xác định bởi y_1=y_2=1 và y_(n+2)=y_(n+1)+y_n,∀n∈N∗. Viết năm số hàng đầu của dãy số.
2. c) Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số cho bởi công thức sau : u_n=-3n.

Giải 

33. a) 1/3, 3/5, 7/9, 15/17, 31/33.
34. b) 1,1,2,3,5.
35. c) Năm số hạng đầu là: -3; -6; -9; -12; -15.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u_100=-3.100=-300. 

Bài 4. a) Cho dãy số (u_n ) có u_n=(n+1)/(2n+1). Số 13/25 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số (u_n ) . 

1. b) Cho dãy số (a_n ) có a_n=-n^2+4n+11,∀n∈N∗. Số (-10) là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số (a_n )?

Giải 

12. a) Giải phương trình (n+1)/(2n+1)=13/25ta được n=12. Vậy số hạng thứ 12.
13. b) Giải phương trình -n^2+4n+11=-10⇒n=7. Vậy số hạng thứ 7.

Bài 5. Cho dãy số (a_n ) xác định bởi a_1=-3 và a_(n+1)=a_n+n^2-3n+4,∀n∈N∗. Số 1391 là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho? 

Giải 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số (a_n ) ta có: 

a_n=a_1+[1^2+2^2+...+(n-1)^2 ]-3[1+2+...+(n-1)]+4(n-1) 

⇔a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3. 

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số (a_n ) là a_n=(n^3-6n^2+17n-21)/3. 

Giải phương trình a_n=1391 ta được n=18 

Bài 6. Cho dãy số (u_n) thỏa mãn u_1=1/2;u_(n+1)=u_n/(2(n+1)u_n+1),n≥1. Tìm n có giá trị nguyên dương lớn nhất để S_n=u_1+u_2+...+u_n<2017/2018 . 

Giải 

Dễ chứng minh được u_n>0,∀n≥1. 

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có 1/u_(n+1) =1/u_n +2n+2,∀n≥1. 

Suy ra 1/u_n =1/u_1 +2(1+2+..+n-1)+2(n-1)⇔1/u_n =2+n(n-1)+2(n-1)=n^2+n⇒u_n=1/(n(n+1)). 

Do đó u_n=1/n-1/(n+1),∀n≥1.  

Vậy S_n=u_1+u_2+...+u_n=1-1/(n+1)=n/(n+1).  

Vì S_n<2017/2018 nên n/(n+1)<2017/2018⇒n<2017. 

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để S_n<2017/2018là n=2016. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

DẠNG 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số 

Bài 1.  

1. a) Chứng minh dãy số (x_n ) với x_n=n^2-2n+3 là một dãy số tăng.
2. b) Chứng minh dãy số (y_n ) với y_n=(n+2)/5^n là một dãy số giảm.
3. c) Xét tính tăng giảm của dãy số (z_n )với z_n=(-1)^n.

...