Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Chương 2 Bài 2: Cấp số cộng

CHÀO MỪNG CÁC EM  

ĐẾN VỚI BÀI GIẢNG HÔM NAY 

KHỞI ĐỘNG 

+ Cho ví dụ về cấp số cộng. 

+ Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u_1=3, số hạng thứ hai là u_2=2, hãy xác định công sai và số hạng tổng quát của cấp số cộng này. 

BÀI 2: 

CẤP SỐ CỘNG 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữa hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 

u_n=u_(n-1)+d" với " n∈N^∗ ". " 

Ví dụ: cấp số cộng: 1; 4; 7; 10; 13; ….. 

Chú ý: Tính chất 

u_k=(u_(k-1)+u_(k+1))/2 ,∀k≥2 

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n ) có số hạng đầu u_1 và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định theo công thức 

u_n=u_1+(n-1)d 

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n ) với công sai d. Đặt S_n=u_1+u_2+…+u_n. Khi đó 

S_n=n(u_1+u_n )/2 

Hay S_n=n/2 [2u_1+(n-1)d] 

LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG 

PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: 

Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng 

Bài 1.  

18. a) Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng: -2, 2, 6, 10, 14, 18.
19. b) Cho cấp số cộng (u_n ) có 7 số hạng với số hạng đầu u_1=2/3 và công sai

Giải 

1. a) Vì 2=-2+4;     6=2+4;      10=6+4;

14=10+4;   18=14+4.  

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số -2, 2, 6, 10, 14, 18 là một cấp số cộng với công sai d=4. 

1. b) Ta có u_2=u_1+d=-2/3;    u_3=u_2+d=-2;   

 u_4=u_3+d=-10/3;             u_5=u_4+d=-14/3;    

   u_6=u_5+d=-6;   u_7=u_6+d=-22/3;  

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng (u_n ) là 

 2/3; -2/3; -2; -10/3; -14/3; -6; -22/3. 

Bài 2. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau 

1. a) Dãy số (a_n ), với a_n=4n-3; b) Dãy số (b_n ), với b_n=(2-3n)/4;
2. c) Dãy số (c_n ), với c_n=6n-4;

Giải 

1. a) Ta có a_(n+1)=4(n+1)-3=4n+1 nên a_(n+1)-a_n

=(4n+1)-(4n-3)=4, ∀n≥1.  

Do đó (a_n ) là cấp số cộng với số hạng đầu a_1=4.1-3=1 và công sai d=4. 

1. b) Ta có b_(n+1)=(2-3(n+1))/4=(-1-3n)/4 nên

b_(n+1)-b_n=(-1-3n)/4-(2-3n)/4=-3/4, ∀n≥1  

Suy ra (b_n ) là cấp số cộng với số hạng đầu b_1=(2-3.1)/4=-1/4 và công sai d=-3/4. 

1. c) Ta có: c_(n+1)-c_n=6(n+1)-4-(6n-4)=6, ∀n≥1.

Do đó (c_n ) là cấp số cộng với số hạng đầu 

 a_1=6.1-4=2 và công sai d=6. 

Bài 3.  

84. a) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_1=123 và u_3-u_15=84. Tìm số hạng u_17.
85. b) Cho cấp số cộng (u_n )có u_1=2 và d=-5. Tìm u_20. Số -2018 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Trả lời 

7. a) Ta có công sai của cấp số cộng là d=(u_3-u_15)/(3-15)=84/(-12)=-7.

Suy ra u_17=u_1+(17-1)d=11. 

19. b) Ta có u_20=u_1+(20-1)d=2+19.(-5)=-93.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là u_n=u_1+(n-1)d=7-5n. 

Vì u_n=-2018 nên 7-5n=-2018⇔n=405. 

Do n=405 là số nguyên dương nên số-2018 là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho. 

Bài 4.  

99. a) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_99=101 và u_101=99. Tìm u_100.
100. b) Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Tính giá trị của biểu thức P=x^2+y^2.

Trả lời 

100. a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có u_100=(u_99+u_101)/2 nên u_100=100.
101. b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có x=(-2+6)/2=2 và 6=(x+y)/2.

Vì x=2 nên y=10. 

Vậy P=x^2+y^2=2^2+10^2=104. 

Bài 5.  

1945. a) Cho cấp số cộng (u_n ) có u_2=2017;u_5=1945. Tính u_2018.
1946. b) Cho cấp số cộng (x_n ) có S_n=3n^2-2n. Tìm số hạng đầu u_1 và công sai d của cấp số
1947. c) Cho cấp số cộng (u_n ) có S_n=7n-2n^2. Tính giá trị của biểu thức P=u_3^2+u_5^2+u_7^2.
      d) Cho cấp số cộng (u_n ) với {█(&u_3+u_5=5@&u_3.u_5=6)┤. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Giải 

1. a) Gọi d là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có: {█(&u_1+d=2017@&u_1+4d=1945)┤⇔{█(&u_1=2041@&d=-24)┤

Suy ra u_2018=u_1+2017d=-46367. 

8. b) Ta có u_1=S_1=1 và u_1+u_2=S_2=8. Suy ra u_2=7

Vậy d=u_2-u_1=6. 

1. c) Ta có u_n=S_n-S_(n-1)=9-4n.

Suy ra u_3=-3,u_5=-11,u_7=-19. Do đó P=491 

3. d) Ta có {█(&u_3+u_5=5@&u_3.u_5=6)┤⇔{█(&u_3=2@&u_5=3)┤ hoặc {█(&u_3=3@&u_5=2)┤.

+ Giải {█(&u_3=2@&u_5=3)┤, ta được u_1=1. 

+ Giải {█(&u_3=3@&u_5=2)┤, ta được u_1=4. 

Bài 6. Biết rằng tồn tại các giá trị của x∈[0;2π] để ba số 1+sin⁡x,〖sin〗^2⁡x,1+sin⁡3 x lập thành một cấp số cộng, tính tổng S các giá trị đó của x. 

...