Giáo án và PPT Toán 11 chân trời Bài 2: Cấp số cộng

CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 

BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Một rạp hát có 20 hàng ghế. Tính từ sân khấu, số lượng ghế của các hàng tăng dần như trong hình minh hoạ dưới đây. 

- GV đặt câu hỏi:

+ Bạn hãy đếm và nêu nhận xét về số ghế của năm hàng đầu tiên. 

(Số ghế 5 hàng đầu tiên lần lượt là: 14; 17; 20; 23; 26.)

(HS dự đoán về tính chất của dãy số trên).

+ Làm thế nào để biết được số ghế của một hàng bất kì và tính được tổng số ghế trong rạp hát đó?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. CẤP SỐ CỘNG 

Hoạt động 1: Tìm hiểu cấp số cộng

- GV yêu cầu HS hoàn thành HĐKP 1

- GV giới thiệu dãy trên được gọi là một cấp số cộng.

+ HS khái quát thế nào là cấp số cộng.

- GV nhấn mạnh để xác định cấp số cộng cần xác định số hạng đầu và công sai.

- HS đọc Ví dụ 1, chỉ ra cấp số cộng và công sai.

- HS đọc Ví dụ 2, chỉ ra số hạng đầu, công sai.

HS đọc hiểu và giải thích Ví dụ 3, 4.

+ Ví dụ 3: Để chứng minh là cấp số cộng ta chỉ ra là số không đổi.

- Từ kết quả ví dụ 4, ta khái quát mối quan hệ giữa ba số liên nhau trong cấp số cộng. 

- HS thực hiện Thực hành 1, 2 và Vận dụng 1.

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 1

Các dãy số trên có điểm giống nhau:

Trong cùng một dãy số, số liền sau bằng tổng của số liền trước với một số không đổi.

Kết luận

Cấp số cộng là một dãy số (hữa hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số d không đổi. 

Số được gọi là công sai của cấp số cộng.

Nhận xét: Nếu là cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy:

,

Thực hành 1 

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng vì kể từ số hạng hứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.

b) Ta có:

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai d = 9

c) Ta có:

Vậy dãy số  là cấp số cộng có công sai d = a.

Thực hành 2

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, gọi 3 góc đó là:

Ta có: 

(1)

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng . Suy ra (2)

Từ (1) và (2), ta tính được

Vậy số đo 3 góc là

Vận dụng 1

Số ô trên các vòng là:

Ta thấy

Vậy các ô trên vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai là 6.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG

Hoạt động 2: Tìm hiểu số hạng tổng quát của cấp số cộng

- GV đặt câu hỏi: Để tính số hạng thứ 100 của một cấp số cộng thì ta phải làm thế nào? Có phải cần tìm tất cả 99 số hạng đứng trước nó?

- HS thực hiện HĐKP 2.

- Từ đó có số hạng tổng quát của cấp số cộng.

- HS đọc hiểu Ví dụ 5, thực hiện Thực hành 3, Vận dụng 2.

+ Để tìm số hạng tổng quát theo đề bài, ta biểu diễn các số hạng đã cho theo và

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 2

.....

Định lí 1

Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức

Ví dụ 5 (SGK -tr.54)

Thực hành 3

a)

b)

Suy ra số hạng tổng quát

,

Thực hành 1 

a) Dãy số 3; 7; 11; 15; 19; 23 là cấp số cộng vì kể từ số hạng hứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với 4.

b) Ta có:

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai d = 9

c) Ta có:

Vậy dãy số  là cấp số cộng có công sai d = a.

Thực hành 2

3 góc của tam giác lập thành cấp số cộng, gọi 3 góc đó là:

Ta có: 

(1)

Do tam giác đó là tam giác vuông nên có 1 góc bằng . Suy ra (2)

Từ (1) và (2), ta tính được

Vậy số đo 3 góc là

Vận dụng 1

Số ô trên các vòng là:

Ta thấy

Vậy các ô trên vòng theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai là 6.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ CỘNG

Hoạt động 2: Tìm hiểu số hạng tổng quát của cấp số cộng

- GV đặt câu hỏi: Để tính số hạng thứ 100 của một cấp số cộng thì ta phải làm thế nào? Có phải cần tìm tất cả 99 số hạng đứng trước nó?

- HS thực hiện HĐKP 2.

- Từ đó có số hạng tổng quát của cấp số cộng.

- HS đọc hiểu Ví dụ 5, thực hiện Thực hành 3, Vận dụng 2.

+ Để tìm số hạng tổng quát theo đề bài, ta biểu diễn các số hạng đã cho theo và

Sản phẩm dự kiến:

HĐKP 2

.....

Định lí 1

Nếu cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức

Ví dụ 5 (SGK -tr.54)

Thực hành 3

a)

b)

Suy ra số hạng tổng quát

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Cho cấp số cộng xác định bởi . Xác định số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. .                              B. .    

C. .                                D. .

A. .                                     B. .       

C. .                                    D. .

Câu 3: Người ta trồng cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây,… Hỏi trồng được bao nhiêu hàng cây theo cách này?

A. hàng.                B. hàng.               C. 78 hàng.           D. 79 hàng.

Sản phẩm dự kiến:

Câu 1: A

Câu 2: B

Câu 3: A

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Khi một vận động viên nhảy dù nhảy xa khỏi máy bay, giả sử quãng đường người ấy rơi tự do (tính theo feet) trong mỗi giây liên tiếp theo thứ tự trước khi bung dủ lần lượt là: 16; 48; 80; 112; 144; ... (các quãng đường này tạo thành cấp số cộng).

a) Tính công sai của cấp số cộng trên.

b) Tính tổng chiều dài quãng đường rơi tự do của người đó trong 10 giây đầu tiên.

Câu 2: Ở một loài thực vật lưỡng bội, tính trạng chiều cao cây do hai gene không alen là A và B cùng quy định kiểu tương tác cộng gộp. Trong kiểu gene nếu cứ thêm một alen trội A hay B thì chiều cao cây tăng thêm 5 cm. Khi trưởng thành, cây thấp nhất của loài này với kiểu gene aabb có chiều cao 100cm. Hỏi cây cao nhất với kiểu gene AABB có chiều cao bao nhiêu?