Giáo án powerpoint dạy thêm Toán 11 chân trời Chương 3 Bài 3: Hàm số liên tục

CHÀO MỪNG CÁC EM  

ĐẾN VỚI BÀI GIẢNG HÔM NAY 

KHỞI ĐỘNG 

+ Thế nào là hàm số liên tục trên khoảng (a;b), hàm số liên tục trên một đoạn [a;b]. 

BÀI 3:  

HÀM SỐ LIÊN TỤC 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng K và x_0∈K. Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục tại điểm x_0 nếu lim┬(x→x_o )⁡〖f(x)〗=f(x_0 ). 

Ví dụ: hàm số f(x)=(x-1)/(x-3) liên tục tại điểm x_o=2. 

Chú ý: - Hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm x_0  được gọi là f(x)   gián đoạn tại điểm x_0 và x_0 là điểm gián đoạn của hàm số. 

- Hàm số f(x) liên tục tại x_0 khi và chỉ khi  

lim┬(x→x_o^+ )⁡〖f(x)〗=lim┬(x→x_o^- )⁡〖f(x)〗=f(x_0 ). 

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. 

- Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và lim┬(x→a^+ ) f(x)=f(a),lim┬(x→b^- ) f(x)=f(b). 

Ví dụ:  Hàm số y=2x+3 liên tục trên đoạn [3; 4]. 

     Hàm số y=(x+1)/(x-2)  không liên tục trên khoảng (1; 3) do bị gián đoạn tại x = 2. 

Nhận xét: 

- Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a)f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c)=0. 

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

- Hàm số đa thức y=P(x)  và các hàm số y=sin⁡x,y=cos⁡x       liên tục trên R. 

- Hàm phân thức y=P(x)/Q(x)   ,  hàm y=√(P(x) ), các hàm số y=tan⁡x, y=cot⁡x liên tục trên tập xác định của chúng. 

(Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức). 

4. Tổng, hiệu, tích thương của hàm số liên tục

Cho hàm số y=f(x) và y=g(x) liên tục tại điểm x_0. Khi đó: 

1. a) Các hàm số y=f(x)+g(x),y=f(x)-g(x) và y=f(x).g(x) liên tục tại x_0;
2. b) Hàm số y=(f(x))/(g(x)) liên tục tại x_0 nếu g(x_0 )≠0.

LUYỆN TẬP, VẬN DỤNG 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra : 

a)f(x)={█(&(x+3)/(x-1) "   " khi x≠1 @&-1"    " khi x=1)┤ (tại x=1)  

b)f(x)={█(&(√(x+3)-2)/(x-1) "   " khi x≠1 @&1/4 "           " khi x=1"   " )┤(tại x=1) 

Giải 

1. a) Ta có: f(-1)=(-1+3)/(-1-1)=-1

(lim)┬(x→-1) f(x)=(lim)┬(x→-1)  (x+3)/(x-1)=-1=f(-1)⇒ hàm số liên tục tại x=-1 

4. b) Ta có : f(1)=1/4.

(lim)┬(x→1) f(x)=(lim)┬(x→1)  ((√(x+3)-2))/((x-1) )=(lim)┬(x→1)  (√(x+3)-2)(√(x+3)+2)/(x-1)(√(x+3)+2) =(lim)┬(x→1)  1/(√(x+3)+2)=f(1)  

Vậy hàm số liên tục tại x=1. 

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra : 

a)f(x)={█(&(2-7x+5x^2-x^2)/(x^2-3x+2) "   " khi x≠2 @&1"    "                     khi x=2)┤ (tại x=2)  

b)f(x)={█(&(x-5)/(√(2x-1)-3) "   "              khi x>5 @"   " @(x-5)^2+3          khi x≤5)┤ (tại x=5) 

Giải 

1. a) Ta có: f(2)=1

Mà (lim)┬(x→2) f(x)=(lim)┬(x→2)  (2-7x+5x^2-x^3)/(x^2-3x+2)=(lim)┬(x→2)  (x-2)(-x^2+3x-1)/(x-2)(x-1) =(lim)┬(x→2)  (-x^2+3x-1)/((x-1) )=1=f(2) 

Vậy hàm số liên tục tại x=2 

3. b) Ta có: f(5)=(5-5)^2+3=3.

Lại có (lim)┬(x→5^- ) f(x)=(lim)┬(x→5^- ) [(x-5)^2+3]=3 

Và (lim)┬(x→5^+ ) f(x)=(lim)┬(x→5^+ )  (x-5)/(√(2x-1)-3)=(lim)┬(x→5^+ )  (x-5)(√(2x-1)+3)/(√(2x-1)-3)(√(2x-1)+3) =(lim)┬(x→5^+ )  (√(2x-1)+3)/2=3 

Từ đó f(5)=(lim)┬(x→5) f(x)⇒ hàm số liên tục tại x=5. 

Bài 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:  

1. a) f(x)={█(&1-cos⁡x " " khi x≤0@&√(x+1) " " khi x>0)┤ (tại x=0)  
2. b) f(x)={█(&(x-1)/(√(2-x)-1) " " khi x<1@&-2x" " khi x≥1)┤ (tại x=1) 

Giải 

1. a) Ta có: f(0)=1-cos⁡0=0.

Lại có {█(&(lim)┬(x→0^+ ) f(x)=(lim)┬(x→0^+ ) √(x+1)=1@&(lim)┬(x→0^- ) f(x)=(lim)┬(x→0^- ) (1-cos⁡x ) )┤  

nên không tồn tại giới hạn hàm số tại x=0 

Vậy hàm số không liên tục tại x=0. 

2. b) Ta có: f(1)=-2.1=-2.

Lại có {█(&(lim)┬(x→1^+ ) f(x)=(lim)┬(x→1^+ ) (-2x)=-2@&(lim)┬(x→1^- ) f(x)=(lim)┬(x→1^- )  (x-1)/(√(2-x)-1)=(lim)┬(x→1^- )  (x-1)(√(2-x)+1)/(√(2-x)-1)(√(2-x)+1) =(lim)┬(x→1^- )  (√(2-x)+1)/(-1)=-2)┤ 

Rõ ràng (lim)┬(x→1^+ ) f(x)=(lim)┬(x→1^- ) f(x)=f(1) nên hàm số liên tục tại x=1. 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

DẠNG 2: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng, đoạn 

...