Bài tập file word toán 11 chân trời sáng tạo Chương 8 bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
Bộ câu hỏi tự luận toán 11 Chân trời sáng tạo. Câu hỏi và bài tập tự luận Chương 8 bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện . Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 11 Chân trời sáng tạo.
CHƯƠNG 8: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIANBÀI 5: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. GÓC NHỊ DIỆN
1. NHẬN BIẾT
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Côsin của góc giữa hai mặt phẳng và bằng
Lời giải
Gọi .
Ta có: và .
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên .
Khi đó: .
.
Từ đó ta có: .
Ta có: và
Suy ra: .
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , với là tâm của đáy. Gọi là trung điểm cạnh , là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Tính .
Lời giải
Gọi là trung điểm của . Do là hình chóp tứ giác đều nên và tứ giác là hình vuông.
Trong , gọi , , .
Ta có: (1)
Do nên (2)
là đường trung bình của và .
Suy ra .
.
Ta có là tứ diện vuông nên
(3).
Thay (2), (3) vào (1) được .
Câu 3 : Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh , và . Hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của tam giác . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Tính .
Lời giải
Gọi là trọng tâm của tam giác . Theo giả thiết ta có .
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng .
Ta có .
Kẻ tại P.
+) đều .
+) .
+) .
Do là hình thoi cạnh và nên tam giác là tam giác đều .
Từ đó ta có:
Câu 4: Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng . Tính côsin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
Ta có .
Gọi là góc giữa mặt phẳng và , khi đó .
Gọi là trung điểm của . Ta có mặt khác .
Suy ra . Do đó: .
Trong mặt phẳng kẻ . Tam giác cân tại có suy ra .
Suy ra . Vậy .
2. THÔNG HIỂU
Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành, , , , cạnh bên , . Gọi là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng , tính .
Lời giải
Trong mặt phẳng kẻ tại .
Trong mặt phẳng dựng tại .
Chứng minh được. Từ đó ta có: .
Trong có .
.
Ta có: .
Gọi . Ta có .
Gọi . Ta có .
Câu 2 : Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , , ,
. Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
Lời giải
Ta có nên suy ra được tam giác đều cạnh .
Gọi là trung điểm của thì nên .
Do đó .
Xét tam giác tam giác vuông có , suy ra .
Vì nên
Mà .
Suy ra .
Câu 3: Cho hình hộp có đáy là hình chữ nhật cạnh , . Gọi là trọng tâm tam giác , là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . Giá trị của bằng
Lời giải
Gọi là góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng , là trọng tâm tam giác . Ta có: .
Gọi là hình chiếu của lên , là hình chiếu của lên , ta chứng minh được .
Ta có: .
Mà .
.
Câu 4: Cho lăng trụ đều có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng . Gọi là trung điểm của . Tính sin của góc giữa hai mặt phẳng và .
Lời giải
Gọi là tâm hình chữ nhật và là giao điểm của và .
Ta có .
Gọi là góc giữa 2 mặt phẳng và . Khi đó: .
Gọi , suy ra là trung điểm của vuông tại .
Dựng .
Từ và suy ra .
Tam giác có , .
.
Ta có: ; .
.
3. VẬN DỤNG
Câu 1: Cho hình chóp đều có . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính tan của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .
Lời giải
Gọi , ta có là trung điểm của .
Vì là hình chóp đều nên .
là hình vuông cạnh .
có , vuông cân tại
Gọi , . Ta có
Ta có
Kẻ tại và tại . Ta chứng minh được: . Khi đó:
Xét vuông tại là đường cao nên: .
.
Ta có: vì .
Từ đó ta có:.
Câu 2 : Cho hóp chóp đều có tất cả các cạnh bằng . Gọi lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm tam giác Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Giá trị của bằng
Lời giải
Gọi .
Ta có: song song với .
Khi đó: thẳng hàng và .
Ta có: .
Dễ thấy tam giác vuâng cân tại nên .
Chứng minh được:
Trong tam giác dựng hai đường cao
Ta có:
Do đó:
.
Câu 3: Cho hình hộp chữ nhật có Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và Tính
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên và là hình chiếu vuông góc của lên mp. Khi đó:
Ta tính được
Ta có: với
Trong tam giác :
Đặt ta có
Do
Trong tứ diện :
Vậy,
Câu 4: Cho hình lăng trụ đứng có , . Gọi là trung điểm của . Tính sin của góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng .
Gọi . Dễ thấy là trung điểm của .
Ta có .
* Tính
Do đó từ suy ra
* Tính
Ta có
Do đó
Vậy từ suy ra .
4. VẬN DỤNG CAO
Câu 1: Cho lăng trụ tam giác đều , . Gọi là trung điểm , là góctạo bởi và . Tính .
Lời giải
Gọi là trung điểm , là góc giữa và . Ta có:
Ta có:
.
Mặt khác là trung điểm nên
Gọi là giao điểm của và , ta có
Mặt khác
Suy ra
.
Câu 2: Cho khối chóp có đáy là hình bình hành, , cạnh bên và vuông góc với mặt đáy. Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
Lời giải
Ta có: .
Gọi là trung điểm của . Ta có: .
Dễ dàng chứng minh được đồng quy tại . Như vậy là trung điểm của , là trung điểm của .
Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và . Ta có: .
Hạ .
.
.
Ta có .
.
, , .
Mặt khác .
Vậy .