Đáp án Toán 11 kết nối tri thức Bài 7: Cấp số nhân (P1)

BÀI 7. CẤP SỐ NHÂN

1. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Nhận biết cấp số nhân...

Đáp án:

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

1. b) Ta có:

suy ra .

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa  và  là:

 với

Bài 2: Dãy số không đổi...

Đáp án:

Dãy số không đổi  là một cấp số nhân với công bội .

Bài 3: Cho dãy số (un) với...

Đáp án:

Với mọi , ta có:

Tức là  với mọi .

Vậy  là một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Bài 1: Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân...

Đáp án:

1. a) Ta có:

1. b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo

 và  là  với

Bài 2: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn...

Đáp án:

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm  mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội  và  là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có:

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

3. TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Bài 1: Xây dựng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân...

Đáp án:

1. a) Ta có: ;

.

Do đó,

(1).

1. b) Ta có:

 (2).

1. c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

với .

Bài 2: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1...

Đáp án:

Nếu cấp số nhân có công bội  thì cấp số nhân là  Khi đó

 (tổng của  số hạng ).

Bài 3: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào...

Đáp án:

Ta có: 3 năm bằng 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là:  (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay  triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là  (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu  và công sai  Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là:

       (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là:  (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội .

Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý là

 (triệu đồng).

+ Vì , do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.15: Xác định công bội, số hạng thứ 5...

Đáp án:

1. a) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u₁= 1 và công bội là

Số hạng thứ 5 là

Số hạng tổng quát là .

Số hạng thứ 100 là .

1. b) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu và công bội là: .

Số hạng thứ 5 là

Số hạng tổng quát là

Số hạng thứ 100 là .

Bài tập 2.16: Viết năm số hạng đầu của dãy số...

Đáp án:

1. a) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

+) Với mọi  ta có  luôn thay đổi.

Do đó, dãy số  không là cấp số nhân.

1. b) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

+) Với mọi  ta có

Tức là  với mọi .

Do đó, (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu , công bội  và số hạng tổng quát là .

1. c) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

.

+) Ta có: , suy ra  luôn thay đổi với mọi .

Vậy dãy số  không là cấp số nhân.

1. d) +) Năm số hạng đầu của dãy số là:

+) Ta có: , suy ra  với mọi .

Vậy dãy số  là cấp số nhân với số hạng đầu , công bội  và có số hạng tổng quát