Giáo án điện tử Toán 11 kết nối Bài 7: Cấp số nhân

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN

NỘI DUNG BÀI HỌC

Định nghĩa

Số hạng tổng quát

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

1. ĐỊNH NGHĨA

                  Cho dãy số  với 

1. a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.
2. b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa và .

Giải

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

u₁ = 3 . 2¹ = 6; u₂ = 3 . 2² = 12; u₃ = 3 . 2³ = 24; u₄ = 3 . 2⁴ = 48; u₅ = 3 . 2⁵ = 96

1. b) Ta có: suy ra

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_{n – 1} là:

u₁ = 6, u_n = u_{n – 1} . 2 với n ≥ 2

KẾT LUẬN

• Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
• Cấp số nhân với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

 với .

CÂU HỎI

Dãy số không đổi a, a, a, … Có phải là một cấp số nhân không?

Giải

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Ví dụ 1: (SGK – tr52)

Cho cấp số nhân có số hạng đầu  và công bội . Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này. 

Giải

Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:

Ví dụ 2: (SGK – tr52)

Cho dãy số  với  Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.  

Giải

Với mọi  ta có

tức là  với mọi

Vậy  là cấp số nhân với số hạng đầu  và công bội  

Luyện tập 1

Cho dãy số  với . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Giải

Với mọi n ≥ 2, ta có:

Tức là  với mọi .

Vậy  là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2 . 5¹ = 10 và công bội q = 5.

02 SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

                  Cho cấp số nhân  với số hạng đầu và công bội .

1. a) Tính các số hạng theo và .
2. b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ theo và .

Giải

1. a) Ta có: u₂= u₁. q; u₃ = u₂ . q = (u₁ . q) . q = u₁ . q²;

u₄ = u₃ . q = (u₁ . q²) . q = u₁ . q³; u₅ = u₄ . q = (u₁ . q³) . q = u₁ . q⁴.

1. b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u₁và q là

u_n = u₁ . q^{n – 1} với n ≥ 2.

KẾT LUẬN

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu  và công bội q thì số hạng tổng quát  của nó được xác định bởi công thức

 với .

Ví dụ 3: (SGK – tr53)

Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số nhân:

Giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu  và công bội  

Do đó năm số hạng đầu là:

Số hạng thứ 100 là

Ví dụ 4: (SGK – tr53)

Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng        1 536 và số hạng thứ 12 bằng 6 144. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.

Giải

Giả sử  là số hạng đầu và là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có:

Từ đây suy ra , tức là  hoặc .

Với , ta tính được

Với , ta tính được  (trường hợp này loại vì  theo giả thiết).

Giải

Do đó  và

Vậy số hạng thứ 20 của cấp số nhân đã cho là

Luyện tập 2

Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầy có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Giải

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5 000 và công bội q = 1,08 và u₆ là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: u₆ = u₁ . q^{6 – 1} = 5 000 . 1,08⁵ ≈ 7 347.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

03 TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

HĐ 3:

Cho cấp số nhân  với số hạng đầu  và công bội

Để tính tổng của  số hạng đầu

Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

1. a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo và để được biểu thức tính tổng  chỉ chứa  và .
2. b) Từ kết quả ở phần a), nhân cả hai vế với để được biểu thức tính chỉ chứa  và .
3. c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a) và b) và giản ước các số hạng đồng dạng để tính theo  và  Từ đó suy ra công thức tính .

Giải

1. a) Ta có: u₂= u₁. q; ...;

u_{n – 1} = u₁ . q^{(n – 1) – 1} = u₁ . q^{n – 2}; u_n = u₁ . q^{n – 1}.

Do đó, S_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n 

                = u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1} (1).

1. b) Ta có:

     q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1})

⇔ q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ (2).