Giáo án và PPT Toán 11 kết nối Bài 7: Cấp số nhân

CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu và trả lời câu hỏi:

Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. ĐỊNH NGHĨA

Hoạt động 1:

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 1.

Sản phẩm dự kiến:

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

b) Ta có:

suy ra .

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa và là: 

với

Kết luận

+ Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

+ Cấp số nhân với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi:

với .

Câu hỏi

Dãy số không đổi là một cấp số nhân với công bội .

Ví dụ 1 : (SGK – tr.52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.52).

Ví dụ 2: (SGK – tr .52).

Hướng dẫn giải (SGK – tr53).

Luyện tập 1

Với mọi , ta có:

Tức là với mọi .

Vậy là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Hoạt động 2

GV cho học sinh thảo luận và thực hiện hoạt động 2.

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có:

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo 

và là với

Kết luận

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi công thức

với .

Ví dụ 3: (SGK – 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53).

Ví dụ 4: (SGK – tr. 53).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.53, 54).

Luyện tập 2.

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội và là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có:

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

Hoạt động 3 

GV cho học sinh thảo luận, thực hiện hoạt động 3 và xây dựng công thức tính tổng của n số hạng đầu của một cấp số nhân.

Sản phẩm dự kiến:

a) Ta có: ; 

. 

Do đó,

(1). 

b) Ta có: 

(2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

với .

Kết luận

Cho cấp số nhân với công bội . Đặt . Khi đó 

Câu hỏi

Nếu cấp số nhân có công bội thì cấp số nhân là Khi đó

(tổng của số hạng ).

Ví dụ 5: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.54).

Ví dụ 6: (SGK – tr.54).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.55).

Vận dụng

Ta có: 3 năm bằng 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là:

       (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội . 

Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý là

(triệu đồng).

+ Vì , do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Dãy số (un) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết:  un=4.3ⁿ

A. q=3q=3

B. q=2q=2

C. q=4q=4

D.  q=∅

Câu 2: Dãy số  (un)(un) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác định số công bội ?

Biết: un=.

A. q=3

B. q=

C. q=4

D. q=∅

Câu 3: Cho dãy số: -1; x; 0,64. Chọn x để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân?

A. Không có giá trị nào của x

B. x=−0,008.

C. x=0,008.

D.  x=0,004.

Câu 4: Cho dãy số: –1; 1; –1; 1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân

B. Số hạng tổng quát un = 1n =1

C. Dãy số này là cấp số nhân có u1= –1, q = –1

D. Số hạng tổng quát un = (–1)2n.

Câu 5 Cho dãy số: –1; –1; –1; –1; –1; … Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân.

B. Là cấp số nhân có u1=−1; q=1.

C. Số hạng tổng quát un=(−1)n.

D. Là dãy số giảm.

 Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Câu 2: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.