Giáo án dạy thêm Toán 12 chân trời Bài 3: Phương trình mặt cầu

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Phương trình mặt cầu” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

1. Trình bày khái niệm mặt cầu.

2. Trình bày phương trình mặt cầu.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập 

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm và số dương . Mặt cầu tâm , bán kính R, kí hiệu , là tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn . Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm gọi là đường kính của mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu

Nếu thì nằm trên mặt cầu.

Nếu thì nằm trong mặt cầu.

Nếu thì nằm ngoài mặt cầu.

2. Phương trình của mặt cầu

• Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính R có phương trình là:

• Phương trình với là phương trình của mặt cầu tâm bán kính .

Ví dụ 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu . 

Giải:

Có . 

.

Mặt cầu có tâm ; bán kính .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu

Phương pháp giải: 

Trong không gian , mặt cầu tâm bán kính R có phương trình là:

Phương trình với là phương trình của mặt cầu tâm bán kính .

Bài 1. Trong không gian hệ trục tọa độ , phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a)

b) 

c)  

Bài 2. Gọi là tâm mặt cầu . Tính độ dài ( là gốc tọa độ).

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ , tìm để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.

a)

b)

Bài 4. Trong không gian hệ trục tọa độ , tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

DẠNG 1:

Bài 1. 

a)  ; .

b)

Vậy phương trình mặt cầu đã cho có tâm và bán kính .

c)  

nên phương trình đã cho không phải phương trình mặt cầu.

Bài 2.

Mặt cầu có tâm

.

Bài 3.

.

Vậy phương trình trên là phương trình mặt cầu với mọi

b)

Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì

hoặc .

Bài 4.

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu thì 

luôn đúng .

.

Dấu "=" xảy ra khi .

Vậy mặt cầu có bán kính nhỏ nhất khi .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp giải:

Phương pháp hình học:

Bước 1: Tính khoàng cách từ tâm của đến

Bước 2: Nếu thì không cắt

Nếu thì tiếp xúc

Nếu thì cắt .

Phương pháp đại số:

Bước 1. Thay từ phương trình tham số của vào phương trình khi đó ta được phương trình bậc hai theo ẩn

Bước 2: Nếu phương trình bậc hai vô nghiệm thì không cắt

Nếu phương trình bậc hai có một nghiệm thì tiếp xúc

Nếu phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì cắt

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ , xét vị trí tương đối của mặt cầu : và đường thẳng .

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ , xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu có tâm đi qua gốc tọa độ

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ cho đường thẳng   và mặt cầu .

a) Chứng minh rằng tiếp xúc với

b) Tìm tọa độ tiếp điểm của và

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng . Gọi là mặt cầu tâm , tiếp xúc với đường thẳng . Tìm bán kính của

DẠNG 2:

Bài 1. 

Gọi  . Thay tọa độ vào , ta được:

hoặc

cắt tại hai điểm phân biệt.

Bài 2.

Mặt cầu có bán kính . 

.

Thay từ phương trình đường thẳng vào phương trình mặt cầu ta được:

vô lí.

Vậy và không cắt nhau.

Bài 3.

a) Thay từ phương trình đường thẳng vào phương trình mặt cầu , ta được

tiếp xúc với

b) Thay vào phương trình đường thẳng ta có .

Vậy tọa độ tiếp điểm của và là

Bài 4.

Gọi   là hình chiếu của trên đường thẳng .

; vectơ chỉ phương của là .

Vì là hình chiếu của trên nên hay .

Suy ra .

Do đó .

Vậy bán kính mặt cầu là.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 3

DẠNG 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính

Phương pháp giải: 

Phương trình của mặt cầu có tâm và bán kính là:

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm và có bán kính

Bài 2. Viết phương trình mặt cầu có đường kính với

Bài 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua .

Bài 4. Cho đường thẳng   và điểm Viết phương trình mặt cầu đi qua điểmvà có tâm là giao điểm của với mặt phẳng .

DẠNG 3:

Bài 1. 

Bài 2.

Gọi là trung điểm của .

Do là đường kính của mặt cầu là tâm mặt của mặt cầu nên

Bán kính mặt cầu là: .

Phương trình mặt cầu đường kính là: .

Bài 3.

.

Phương trình mặt cầu có tâm và bàn kính là:

.

Bài 4.

Mặt phẳng .

Gọi là giao điểm của và mặt phẳng .

Do nên .

thuộc mặt phẳng nên hay .

Suy ra .

.

Phương trình mặt cầu đi qua và có tâm là:

.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 4

DẠNG 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Phương pháp giải: 

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng bằng bán kính :

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là: 

.

Bài 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Bài 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng .

Bài 3. Cho 4 điểm và Viết phương trình mặt cầu tâm và tiếp xúc với mặt phẳng

Bài 4. Cho mặt phẳng Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục , bán kính bằng và tiếp xúc mặt phẳng .

DẠNG 4:

Bài 1. 

Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

Do tiếp xúc với mặt cầu nên bán kính mặt cầu .

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với là:

Bài 2.

Phương trình mặt phẳng là:

Khoảng cách từ đến mặt phẳng là:

Phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với mặt phẳng là:

Bài 3.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

…………………..