Giáo án điện tử Toán 12 chân trời Bài 3: Phương trình mặt cầu

CHÀO MỪNG CÁC EM 
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC 
MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG 

Ta đã biết trong mặt phẳng tọa độ , phương trình đường tròn tâm , bán kính có dạng 

Trong không gian , phương trình mặt cầu có dạng như thế nào?

CHƯƠNG V. 

PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG, 

ĐƯỜNG THẲNG, MẶT CẦU

BÀI 3: 

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 

NỘI DUNG BÀI HỌC 

1. 

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN

Khái niệm mặt cầu

Trong không gian, cho điểm và số dương . Mặt cầu tâm , bán kính , kí hiệu , là tập hợp các điểm trong không gian thỏa mãn . Đoạn thẳng nối hai điểm thuộc mặt cầu và đi qua tâm gọi là đường kính của mặt cầu.

Chú ý: Cho mặt cầu

Nếu thì nằm trên mặt cầu.

Nếu thì nằm trong mặt cầu.

Nếu thì nằm ngoài mặt cầu.

HĐKP1.

Trong không gian , cho mặt cầu có tâm và bán kính .

Xét một điểm thay đổi.

a) Tính khoảng cách theo và

b) Nêu điều kiện cần và đủ của để điểm nằm trên mặt cầu

Giải

a)

b) Điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên mặt cầu là:

KẾT LUẬN

Trong không gian , mặt cầu tâm , bán kính có phương trình là:

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu

a) Có tâm bán kính ;

b) Có đường kính với và

c) Có tâm và đi qua điểm

Giải

a) Mặt cầu có phương trình: 

b) Mặt cầu có đường kính nên có tâm là trung điểm của và bán kính

Vậy có phương trình:

c) Mặt cầu có tâm và đi qua điểm nên có bán kính

Vậy có phương trình: 

Ví dụ 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:

a)

b)

c)

Giải

a) Mặt cầu có tâm và bán kính

b) Mặt cầu có tâm và bán kính

c) Mặt cầu có tâm và bán kính

Thực hành 1. Viết phương trình mặt cầu

a) Có tâm , bán kính

b) Có đường kính với và

c) Có tâm và đi qua điểm

Giải

a) Phương trình mặt cầu là: 

b) Gọi là trung điểm của , suy ra là tâm của mặt cầu .

Phương trình mặt cầu là:

c) Mặt cầu có tâm và đi qua điểm nên có bán kính .

Ta có:

Phương trình mặt cầu là:

Vận dụng 1. Trong không gian (đơn vị của các trục toạ độ là mét), các nhà nghiên cứu khí tượng dung một phần mềm mô phỏng bề mặt của một quả bóng thám không có dạng hình cầu bằng phương trình 

Tìm toạ độ tâm, bán kính của quả bóng và tính khoảng cách từ tâm của quả bóng đến mặt đất có phương trình

Giải

Tọa độ tâm

HĐKP2

a) Trong không gian , cho điểm thay đổi có toạ độ luôn thoả mãn phương trình

i) Biến đổi về dạng:

ii) Chứng tỏ luôn thuộc một mặt cầu . Tìm tâm và bán kính của

b) Bằng cách biến đổi phương trình về dạng , hãy cho biết phương trình có thể là phương trình mặt cầu hay không.

Giải

a) 

i)

ii) với nên luôn thuộc mặt cầu , tâm , bán kính .

b) Ta có:

Vì nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

Nhận xét: Phương trình với là phương trình của mặt cầu tâm , bán kính .

Ví dụ 3: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a)

b)

Giải

a) Phương trình có dạng với

Ta có

Suy ra phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm       bán kính .

b) Phương trình   có dạng

Suy ra phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

Thực hành 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a)                b)

--------------- Còn tiếp ---------------