Nội dung chính Toán 12 cánh diều Bài 1: Phương trình mặt phẳng

CHƯƠNG 5

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

I. VECTOR PHÁP TUYẾN. CẶP VECTOR CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

1. Vector pháp tuyến

Cho mặt phẳng . Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

2. Cặp vecto chỉ phương

Cho mặt phẳng (P). Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chi phuơng của mặt phẳng (P).

3. Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vector chỉ phương 

Nếu hai vectơ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  thì 

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

Phương trình (A, B, C không đồng thời bằng 0) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số D gọi là hệ số tư do của phương trình tổng quát.

III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN

1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua 1 điểm và biết vector pháp tuyến 

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua 1 điểm và biết được cặp vector chỉ phương

Để lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm có cặp vectơ chỉ phương là , ta có thể làm như sau:

Buớc 1. Tìm .

Buớc 2. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận làm vectơ pháp tuyến.

­ 3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Để lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm

không thẳng hàng, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tîm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng là:

Bước 2. Tìm .

Bước 3. Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận làm vectơ pháp tuyến.

IV. ĐIỀU KIỆN SONG SONG, VUÔNG GÓC CỦA 2 MẶT PHẲNG

1. Điều kiện song song của 2 mặt phẳng

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là và mặt phẳng có phương trình tổng quát là . Gọi lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng .

Khi đó: khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho

2. Điều kiện vuông góc của 2 mặt phẳng

Cho mặt phẳng có phương trình tổng quát là và mặt phẳng có phương trình tổng quát là . Khi đó:

V. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng :

được tính theo công thức: .