Giáo án Toán 12 cánh diều Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép gia công cơ khí chính xác (Hình 1). Để làm chi tiết máy đó, người ta cần xác định phương trình của mặt cắt trong một hệ tọa độ thích hợp và đưa những dữ liệu đó vào hệ thống máy tính điều khiển các máy gia công cơ khí kĩ thuật số.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐ1.

- GV dẫn dắt: được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Từ đó, giới thiệu khái niệm vectơ pháp tuyến.

- GV đặt câu hỏi: Một mặt phẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến? Từ đó dẫn đến nhận xét.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 1:

Vectơ nào vuông góc với mặt phẳng ?

- HS thực hiện Luyện tập 1.

- HS trả lời HĐ2.

- GV giới thiệu cho HS khái niệm cặp vectơ chỉ phương.

- HS tìm hiểu Ví dụ 2.

- HS thực hiện Luyện tập 2:

- HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ3.

+ Tìm vectơ sao cho .

+ Vectơ có vuông góc với mặt phẳng không?

- GV đưa công thức xác định vectơ pháp tuyến từ tích có hướng của hai cặp vectơ chỉ phương.

• HS tìm hiểu Ví dụ 3.

• HS áp dụng Nhận xét ở mục 1, thực hiện Luyện tập 3.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Vectơ pháp tuyến. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến

HĐ1:

Giá của vectơ là đường thẳng  .

Vì là hình hộp chữ nhật nên .

Vậy giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng

Khái niệm

Cho mặt phẳng . Nếu vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Nhận xét: Nếu là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Ví dụ 1 (SGK -tr.51)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.51

Luyện tập 1

a) Vectơ có giá là trục và nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

b) Vectơ có giá là trục và nên là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

2. Cặp vectơ chỉ phương

HĐ2        

+ Vì là hình hộp nên hai đường thẳng và chéo nhau. Do đó, hai vectơ không cùng phương.

+ Vì nên giá của vectơ nằm trong mặt phẳng .

+ Vì nên giá của vectơ song song mặt phẳng .

Kết luận

Cho mặt phẳng . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Ví dụ 2 (SGK -tr.51)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.52

Luyện tập 2

+ Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phăng .

+ Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phăng .

+ Do hai vectơ không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng nên là cặp vectơ chỉ phương của mặt phăng .

3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương

HĐ3

a) Xét vectơ có:

;

.

Vậy vuông góc với cả hai vectơ và .

b) Vì vuông góc với cả hai vectơ và có nghĩa là giá của nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng .

Suy ra giá của vectơ vuông góc với mặt phẳng .

Mà , do đó vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . 

Kết luận

Nếu hai vectơ là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng thì là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Ví dụ 3 (SGK -tr.52)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.52

Luyện tập 3

Ta có

Do đó vectơ   vuông góc với cả hai vectơ và . Vậy vectơ cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . 

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐ4.

- GV dẫn dắt giới thiệu: Ta nói mặt phẳng có phương trình tổng quát là

- GV giới thiệu phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- GV dẫn dắt để HS nhận biết vectơ pháp tuyến trong phương trình mặt phẳng.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 4,5: nhận biết phương trình tổng quát và vectơ phép tuyến của mặt phẳng.

- HS thực hiện Luyện tập 4.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

HĐ4:

a) Ta có: .

Khi .

b) Tọa độ của điểm thỏa mãn phương trình .

Khái niệm

Phương trình ( không đồng thời bằng 0) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số gọi là hệ số tự do của phương trình tổng quát.

Nhận xét

Ta có thể chứng minh được rằng nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là:

Trong đó không đồng thời bằng 0, thì vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Ví dụ 4 (SGK -tr.53)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.53

Ví dụ 5 (SGK -tr.54)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.54

Luyện tập 4

a) Ta có:

Mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến.

b) Ta có:

Mặt phẳng nhận làm vectơ pháp tuyến.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐ5.

- GV dẫn dắt tới cách lập phương trình tổng quát khi đi qua một điểm và một vectơ pháp tuyến.

- GV cho HS thực hiện Ví dụ 6: sử dụng công thức trên lập phương trình mặt phẳng.

- HS thực hiện Luyện tập 5 dựa theo ví dụ.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, trả lời HĐ6

+ Xác định một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

- GV dẫn dắt HS cách lập phương trình mặt phẳng khi biết đi qua một điểm và một cặp vectơ chỉ phương.

- GV cho HS quan sát Ví dụ 7.

- HS thực hiện Luyện tập 6 dựa theo ví dụ.

- HS trả lời HĐ7

+ Hai vectơ có cùng phương không? Từ đó chứng minh không thẳng hàng.

+ Xác định một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng , viết phương trình mặt phẳng  

- GV dẫn dắt HS cách lập phương trình mặt phẳng khi biết đi qua ba điểm không thẳng hàng.

III. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện

1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

HĐ5:

a) Ta có: .

Khi .

b) Ta có:

.

Kết luận

Mặt phẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

với .

Chú ý: Mặt phẳng   đi qua điểm và nhận làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

Ví dụ 6 (SGK -tr.54)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.54

Luyện tập 5

Gọi là trung điểm của , ta có:

. Suy ra .

Ta có .

Chọn .

Gọi mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .

Khi đó phương trình mặt phẳng là:

2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

HĐ6 

a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là:

b) Phương trình mặt phẳng là:

Kết luận

Để lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm   có cặp vectơ chỉ phương là , ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm .

Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm nhận làm vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 7 (SGK -tr.55)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.55

Luyện tập 6

Ta có .

Xét .

Mặt phẳng có phương trình là:

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

HĐ7

a) Ta có: .

Nhận thấy với mọi số thực nên hai vectơ không cùng phương.

Vậy không thẳng hàng.

b) Xét .

Mặt phẳng có phương trình là:

Kết luận

Để lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, ta có thể làm như sau:

……………………….