Giáo án Toán 12 chân trời Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐKP1.

- GV giới thiệu về vectơ chỉ phương của đường thẳng.

- Các vectơ chỉ phương của cùng một đường thẳng có mối quan hệ gì?

- HS đọc Ví dụ 1, làm Thực hành 1: chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng.

- HS thực hiện HĐKP 2.

a) Khi thì và có mối quan hệ gì?

Nếu cùng phương với vectơ thì và có mối quan hệ gì?

b) Dựa vào kết quả câu a, gọi   viết theo và

- GV giới thiệu khái niệm phương trình tham số của đường thẳng.

- HS đọc Ví dụ 2:

+ Nêu cách tìm các vectơ chi phương của d.

+ Nêu cách tìm điểm thuộc d khi biết phương trình tham số.

Nhận thấy tương ứng với mỗi giá trị t có một điểm thuộc đường thẳng.

Từ đó ta có nhận xét:

- HS quan sát Ví dụ 3.

Làm thế nào để xác định điểm A có thuộc đường thẳng d hay không?

- HS làm Thực hành 2, 3.

+ Thực hành 2: tìm các vectơ chỉ phương cùng phương. Tìm các điểm khi cho giá trị t tương ứng.

+ Vận dụng 3: Viết phương trình đường thẳng d, thay tọa độ điểm M để xác định M thuộc d hay không.

- HS làm HĐKP 3.

- GV giới thiệu về khái niệm phương trình chính tắc của đường thẳng .

Nhấn mạnh: đều khác 0.

- HS quan sát Ví dụ 4, làm Thực hành 4.

Áp dụng khái niệm vừa học để viết phương trình chính tắc.

- HS làm HĐKP 4:

Tông quát, ta có cách viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng qua hai điểm.

- HS áp dụng đọc Ví dụ 5, làm Thực hành 5, Vận dụng 1.

+ Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng.

+ Viết phương trình.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Phương trình đường thẳng trong không gian

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐKP1:

Có duy nhất một đường thắng đi qua và song song hoặc trùng với giá của .

Định nghĩa:

Vectơ khác có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được goi là vectơ chỉ phương của .

Chú ý:

Nếu là vectơ chỉ phương của thì cũng là vectơ chỉ phương của .

Ví dụ 1 (SGK -tr.46)

Thực hành 1

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là ;

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là ;

Đường thẳng có một vectơ chỉ phương là .

Phương trình tham số của đường thẳng

HĐKP 2:

a) Ta có: cùng phương với vectơ .

cùng phương với vectơ nên .
b)

Vậy

Định nghĩa

Trong không gian , phuơng trình tham số của đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương có dạng:

Ví dụ 2 (SGK -tr.45)

Chú ý:

a) Trong phương trình tham số của đường thẳng 

mỗi giá trị của tham số xác định duy nhất một điểm trên và ngược lại.

b) Từ nay để cho gọn, trong phương trình tham số của đường thẳng, ta không viết .

Ví dụ 3 (SGK -tr.45)

Thực hành 2:

a) Hai vectơ chỉ phương của là .
b) Thay lần lượt bằng vào phương trình tham số của , ta được 3 điểm trên là .

Thực hành 3:

+) Ta có phương trình tham số của là:
+) Thay tọa độ của vào phương trình tham số của , ta có:

(thoả mãn).

Vậy đường thẳng đi qua điểm .

Phương trình chính tắc của đường thẳng

HĐKP 3:

Ta có .
Mà nên

Định nghĩa

Trong không gian , cho đường thằng đi qua và có vectơ chỉ phương .
Nếu đều khác 0 thì hệ phương trình

gọi là phurơng trình chính tắc của đường thẳng .

Ví dụ 4 (SGK -tr.46)

Thực hành 4

Đường thẳng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương nên có phương trình chính tắc: .

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm

HĐKP 4:

a) Ta có là một vectơ chỉ phương của đường thắng .

b) Đường thả̉ng đi qua điểm và nhận làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là và phương trình chính tắc là .

Kết luận

Trong không gian , đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt , có vectơ chỉ phương là và có phương trình tham số:

Nếu thì có phương trình chính tắc:

.

Ví dụ 5 (SGK -tr.47)

Thực hành 5

Đường thẳng đi qua hai điểm nên có vectơ chỉ phương là .

Phương trình tham số của là:

Phương trình chính tắc của là: .
Vận dụng 1

Ta có:

Đường thẳng đi qua hai điềm nên có vectơ chỉ phương là .
Phương trình tham số của đường thẳng là .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐKP 5.

Từ phương của ba vectơ chỉ phương và điểm ta có nhận xét vị trí của ba đường thẳng.

- Tổng quát, ta có điều kiện hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

- HS quan sát Ví dụ 6.

Để kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau, ta kiểm tra điều gì?

- GV đặt câu hỏi:

+ Nếu hai đường thẳng thì ba vectơ có mối quan hệ gì?

+ Nếu hai đường thẳng // thì ba vectơ có mối quan hệ gì?

- HS quan sát cách giải ví dụ 6 theo cách xét vị trí của ba vectơ .

- HS thực hiện Thực hành 6, Vận dụng 2 tương tự ví dụ 6.

- HS thực hiện HĐKP 6.

+ Nhận xét 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng từ đó xác định hai đường song song hoặc trùng không.

+ Giải hệ để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

- Tổng quát, ta có điều kiện hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.

- Cho hai đường thẳng, để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta kiểm tra theo thứ tự ưu tiên nào?

- HS quan sát Ví dụ 7:

.................

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Điều kiện để hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

HĐKP 5:

a) Ta có lần lượt là vectơ chỉ phương của và .

Ta có 3 vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau.
b) 

+) Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta được

Vậy điếm .

+) Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thắng ta được

Vậy điểm .

c) .

Tổng quát

Gọi và lần lượt
là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và .

Gọi là một điểm trên .
Ta có:

Ví dụ 6 (SGK -tr.48)

Chú ý:

Cho đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chi phương , đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

a) Nếu ba vectơ cùng phương thì .
b) Nếu hai vectơ cùng phương và hai vectơ không cùng phương thì .

Thực hành 6:

a) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Thay toạ độ điểm vào phương trình của , ta được: .

Phương trình nghiệm đúng, suy ra thuộc . Vậy .

b) Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Thay toạ độ điểm vào phương trình của , ta được: (không thỏa mãn).

Suy ra không thuộc . Vậy .

Vận dụng 2

Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương .

Đường thẳng có vectơ chỉ phương .
Thay toạ độ điểm vào phương trình của , ta được (không thoả mãn).

Suy ra không thuộc . Vậy .

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.

HĐKP 6:

a) không song song, không trùng với vì các vectơ chỉ phương không cùng phương.
b)

Vậy và cắt nhau tại một điểm.
c)

(vô nghiệm).

Hệ phương trình vô nghiệm và hai đường thẳng không song song, không trùng nhau ıên và chéo nhau.

Tổng quát

Cho hai đường thẳng và có phương trình tham số lần lượt là:

Gọi và lần lượt là vectơ chỉ phương của và .

Xét hệ phương trình ẩn và

• và cắt nhau khi và chỉ khi hệ trên có đúng một nghiệm.

• và chéo nhau khi và chỉ khi không cùng phương và hệ trên vô nghiệm.

Chú ý:

Để xét vị trí tương đối của và , trước hết ta kiểm tra tính cùng phương của hai vectơ chỉ phương của và

a) Nếu và cùng phương thi và hoặc song song hoặc trùng nhau.

b) Nếu và ' không cùng phương thi và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ví dụ 7 (SGK -tr.51)

.................