Bài tập file word Toán 12 cánh diều Bài 2: Phương trình đường thẳng

BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 

(20 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tìm một vectơ chỉ phương của các đường thẳng sau:

a) , , .

b)

Trả lời:

a) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

Câu 2: Trong không gian toạ độ cho , và là trọng tâm của tam giác . Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Trả lời: 

là trọng tâm của tam giác nên

Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là  

Câu 3: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và .

Trả lời: 

Câu 4: Trong không gian , cho hai mặt phẳng và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và . 

Trả lời:

Câu 5: Trong không gian , cho đường thẳng và điểm sao cho thuộc . Tìm giá trị của m.

Trả lời: 

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Câu 1: Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) đi qua hai điểm và

b) đi qua điểm và có vectơ chỉ phương

c) đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng  

Trả lời:

a) Ta có: là một vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Vậy phương trình tham số của đường thẳng là , , ( là tham số); phương trình chính tắc của đường thẳng là:

.

b) Phương trình tham số của đường thẳng là , , ( là tham số); phương trình chính tắc của đường thẳng là:

.

c) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là

Do vuông góc với nên nhận làm một vectơ chỉ phương. Vậy phương trình tham số của đường thẳng là , , ( là tham số); phương trình chính tắc của đường thẳng là:

.

Câu 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng và trong các trường hợp sau:

a) và

b) và 

c) và

Trả lời:

a) Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Ta có và không cùng phương nên và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Đường thẳng có phương trình tham số là ;

Đường thẳng có phương trình tham số là ;

Giải hệ phương trình ; ; ta được và

Vậy cắt . 

b) Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Ta có và cùng phương nên và hoặc song song với nhau hoặc trùng nhau.

Lại có nên và trùng nhau.

Vậy .

c) Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Ta có và không cùng phương nên và hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

Đường thẳng có phương trình tham số là ;

Giải hệ phương trình ; ; ta được hệ phương trình vô nghiệm

Vậy và chéo nhau. 

Câu 3: Tính góc giữa hai đường thẳng và trong các trường hợp sau:

a) và

b) và 

c) và

Trả lời:

a) Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Khi đó

Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng

b) Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Ta có và cùng phương nên và hoặc song song với nhau hoặc trùng nhau, do đó góc giữa hai đường thẳng và bằng

c) Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Khi đó

Vậy góc giữa hai đường thẳng và xấp xỉ

Câu 4: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong các trường hợp sau:

Câu 5: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho mặt phẳng và đường thẳng . Tìm để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .

Trả lời: 

Câu 6: Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho mặt phẳng và đường thẳng . Tìm để đường thẳng song song với mặt phẳng .

Trả lời:

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Câu 1: Trong không gian , cho tứ diện có , , , .

a) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng

b) Tính góc giữa hai đường thẳng và  

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng và  

d) Chiều cao của hình chóp là với thuộc mặt phẳng . Tìm toạ độ của điểm H 

Trả lời:

a) Mặt phẳng có một cặp vectơ chỉ phương là và nên có vectơ pháp tuyến là

Đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng có vectơ chỉ phương là

b) Ta có: và

Khi đó

Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng

c) Mặt phẳng đi qua 3 điểm , , nên có phương trình là: , do đó mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là

Khi đó

Vậy góc giữa hai mặt phẳng và xấp xỉ

d) Đường cao là đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng nên phương trình đường thẳng là:

Khi đó toạ độ của điểm có dạng

Phương trình mặt phẳng là:

Lại có thuộc mặt phẳng nên:

Vậy .

Câu 2: Trong không gian , cho điểm , hai mặt phẳng và .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua đồng thời song song với hai mặt phẳng và .

Trả lời:

Hai mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là và

Ta có và không cùng phương nên và cắt nhau.

Thay toạ độ của điểm vào phương trình hai mặt phẳng và ta có:

Ta có:

Vì đường thẳng song song với hai mặt phẳng và nên nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến, vậy phương trình chính tắc của đường thẳng là: .

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Gọi là đường thẳng nằm trong mặt phẳng , cắt đường thẳng

và vuông góc với đường thẳng . Viết phương trình tham số của đường thẳng .

Trả lời:

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Gọi là đường thẳng nằm trên đồng thời cắt đường thẳng và trục . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng .

Trả lời:

Câu 5: Cho hai đường thẳng và  . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , vuông góc với và cắt . 

Trả lời:

4. VẬN DỤNG CAO (4 câu)

Câu 1: Cho hai đường thẳng và  và điểm . Gọi là đường thẳng vuông góc chung của và . Gọi là một điểm thuộc đường thẳng thì khi độ dài ngắn nhất, toạ độ của M bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là và

Gọi và lần lượt là giao điểm của đường thẳng với hai đường thẳng

Khi đó , ,

Do là đường thẳng vuông góc chung của và nên:

Suy ra

Vậy phương trình đường thẳng là:

Do là một điểm thuộc đường thẳng nên toạ độ của có dạng

Khi đó

Do đó độ dài ngắn nhất bằng

Vậy .

----------------------------------

----------------------- Còn tiếp -------------------------