Giáo án Toán 12 cánh diều Bài 2: Phương trình đường thẳng

Cầu Bãi Cháy nối Hòn Gai và Bãi Cháy (Quảng Ninh). Dây cáp  của cầu gợi nên hình ảnh đường thẳng trong không gian với hệ tọa độ (Hình 22).

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS trả lời HĐ1.

- GV giới thiệu khái niệm vectơ chỉ phương.

+ GV đặt câu hỏi: Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương?

Từ đó dẫn đến nhận xét.

- HS tìm hiểu Ví dụ 1:

Vectơ nào có giá song song với đường thẳng ?

- HS thực hiện Luyện tập 1 dựa theo ví dụ 1.

- GV cho HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành yêu cầu của HĐ2.

- GV dẫn dắt: Đường thẳng có phương trình tham số là:

- Tổng quát, ta có kết luận về phương trình tham số của đường thẳng.

- HS quan sát Ví dụ 2, thực hiện viết phương trình tham số của đường thẳng.

- HS thực hiện Luyện tập 2:

+  Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng .

+ Viết phương trình tham số của đường thẳng  .

- HS trả lời HĐ3.

- GV nhận xét: Đường thẳng có phương trình chính tắc là .

- Tổng quát, ta có kết luận về phương trình chính tắc của đường thẳng.

• HS tìm hiểu Ví dụ 3. Lập phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết 1 điểm và 1 vectơ chỉ phương.

• HS thực hiện Luyện tập 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng từ phương trình tham số.

• Gợi ý: Biểu diễn theo .

• HS thảo luận nhóm đôi, trả lời HĐ4

- GV giới thiệu cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

• HS tìm hiểu Ví dụ 4. Lập phương trình của đường thẳng khi đi qua hai điểm.

• HS thực hiện Luyện tập 4. 

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Phương trình đường thẳng

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐ1:

Giá của vectơ là đường thẳng .

Vì là hình hộp nên .

Vậy giá của vectơ và đường thẳng song song với nhau.

Kết luận

Cho đường thẳng và vectơ khác . Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng   nếu giá của song song hoặc trùng với .

Nhận xét: Nếu là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì () cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.

Ví dụ 1 (SGK -tr.65)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.65

Luyện tập 1

Do vectơ khác và có giá là đường thẳng song song với đường thẳng nên vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng .

2. Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ2

a) Vì vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng nên giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng

Suy ra hai vectơ và có giá song song hoặc trùng nhau nên chúng cùng phương.

b) Vì hai vectơ và cùng phương nên tồn tại số thực sao cho .

c) Ta có

d) Tọa độ của điểm (nằm trên ) thỏa mãn hệ phương trình:

Kết luận

Hệ phương trình , trong đó không đồng thời bằng 0, là tham số, được gọi là phương trình tham số của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .

Ví dụ 2 (SGK -tr.67)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.67

Luyện tập 2

Ta có là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng .

Vì vuông góc với   nên đường thẳng nhận vectơ làm vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng là:

là tham số).

3. Phương trình chính tắc của đường thẳng

HĐ3

Vì nên

Khi đó

Suy ra

Vậy tọa độ của điểm (nằm trên ) thỏa mãn hệ phương trình:

Kết luận

Nếu thì hệ phương trình được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương .

Ví dụ 3 (SGK -tr.68)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.68

Luyện tập 3

Ta có

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng là:

4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

HĐ4

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

b) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm   và có vectơ chỉ phương là:

là tham số).

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

Kết luận

Đường thẳng đi qua hai điểm có:

• Phương trình tham số là: là tham số).
• Phương trình chính tắc là: (với ).

Ví dụ 4 (SGK -tr.69)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.69

Luyện tập 4

Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV dẫn dắt giới thiệu về hai vectơ cùng phương và ba vectơ đồng phẳng.

- HS hoạt động theo nhóm đôi, trả lời HĐ5

- GV giới thiệu định lí.

- HS tìm hiểu Ví dụ 5:

Xác định ví trí tương đối của hai đường thẳng.

- HS thực hiện Luyện tập 5 dựa theo ví dụ 1.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

II. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian, hai vectơ được gọi là cùng phương nếu các giá của chúng cùng song song với một đường thẳng, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Trong không gian , cho ba vectơ:

và .

• Hai vectơ là cùng phương khi và chỉ khi

• Ba vectơ là đồng phẳng khi và chỉ khi .

HĐ5:

a) 

Vì song song với nên hai vectơ và cùng phương; hai vectơ và không cùng phương.

b) 

Vì và cắt nhau nên hai vectơ và không cùng phương.

Ba vectơ và đồng phẳng vì giá của mỗi vectơ này đều cùng nằm trong mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và .

c) 

Vì và chéo nhau nên hai vectơ và không cùng phương.

Ba vectơ và không đồng phẳng.

Định lí

Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng phân biệt lần lượt đi qua các điểm và tương ứng có là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:

cắt

và chéo nhau .

Ví dụ 5 (SGK -tr.70)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.71

Luyện tập 5

 Xét hệ phương trình

Ta thấy hệ phương trình này có đúng một nghiệm là .

Vậy hai đường thẳng và cắt nhau.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- HS thảo luận nhóm đôi trả lời HĐ6.

+ Nhắc lại khái niệm góc giữa hai đường thẳng, liên hệ góc giữa hai vectơ để trả lời các ý a, b.

+ Nhắc lại công thức tính góc giữa hai vectơ để thực hiện ý c.

- GV đưa công thức tổng quát tính góc giữa hai đường thẳng.

+ GV đặt câu hỏi: Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì ta có điều gì?

Từ đó dẫn đến nhận xét.

………………….

III. Góc

1. Góc giữa hai đường thẳng

HĐ6:

a) Ta có: .

b) Ta có:

Mà nên

Vậy .

c) Ta có:

Kết luận

Trong không gian với hệ tọa độ  , cho hai đường thẳng và có vectơ chỉ phương lần lượt là , . Khi đó, ta có:

Nhận xét: .

……………………..