Giáo án chuyên đề Toán 12 cánh diều Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Một công ty kinh doanh đồ uống sản xuất hai loại nước sinh tố theo công thức sau:

Trong 1 nước sinh tố loại thứ nhất có nước anh đào, nước cam và giá bán là 24 000 đồng/lít.

Trong nước sinh tố loại thứ hai có nước anh đào, nước cam và giá bán là 18 000 đồng/lít.

Công ty có nước anh đào và nước cam.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS thực hiện yêu cầu của HĐ   theo nhóm đôi.

Trong bài toán ở phần mở đầu, gọi x, y lần lượt là số lít nước sinh tố loại thứ nhất và loại thứ hai mà công ty dự định sản xuất.

a) Viết các điều kiện ràng buộc đối với x và y để đáp ứng nhu cầu trên của công ty.

b) Viết điều kiện ràng buộc đối với x và y sao cho tổng số tiền công ty thu được là nhiều nhất.

- GV hướng dẫn HS:

• Số lít nước anh đào có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là bao nhiêu?

• Số lít nước cam có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là bao nhiêu?

GV dẫn dắt: “Bài toán có dạng như trên được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến), hàm số là hàm mục tiêu”

- GV giới thiệu khái niệm bài toán quy hoạch tuyến tính.

- GV nhấn mạnh 2 dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu VD 1.

- GV hướng dẫn HS:

+ Số tiền doanh nghiệp thu được phụ thuộc vào là bao nhiêu?

+ Bất phương trình biểu diễn thể tích hóa chất màu A, B dùng để sản xuất phụ thuộc vào lần lượt là bao nhiêu?

 - GV yêu cầu HS hoàn thành Luyện tập 1.

Người ta cần đóng 20 kg hàng hoá vào hai loại hộp. Mỗi chiếc hộp loại I đựng được 2 kg hàng hoá. Mỗi chiếc hộp loại II đựng được 3 kg hàng hoá. Hãy lập mô hình toán học của bài toán trên sao cho số hộp cần dùng là nhỏ nhất.

- GV gọi 2 HS lên bảng trình bày.

- HS dưới lớp theo dõi, nhận xét, so sánh kết quả 2 bạn.

- GV nhận xét, chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, tiếp nhận kiến thức, hoành thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát, hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quá lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính

HĐ

a) Số lít nước anh đào có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Số lít nước cam có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và y lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dữ trữ nên ta có hệ bất phương trình:

b) Tổng số tiền công ty thu được khi bán lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là: (đồng).

Vậy điều kiện ràng buộc đối với và sao cho tổng số tiền công ty thu được là nhiều nhất là:

Khái niệm

Bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm mục tiêu trong điều kiện hàm mục tiêu là hàm nậc nhất đối với các biến và mỗi một điều kiện ràng buộc là bất phương trình bậc nhất đối với các biến (không kể điều kiện ràng buộc biến thuộc tập số nào).

Chú ý: Ta có thể viết bài toán quy hoạch tuyến tính (hai biến về dạng sau:

hoặc  

trong đó các điều kiện ràng buộc đều là các bất phương trình bậc nhất đối với .

Ví dụ 1 (SGK – tr.21+ 22)

Hướng dẫn giải: SGk – tr.22

Luyện tập 1

Gọi   và lần lượt là số chiếc hộp loại I và loại II cần dùng .

Tổng số hộp cần dùng là (hộp).

Số kg hàng hóa đựng được là (kg).

Do người ta cần đóng 20 kg hàng hóa nên ta có .

Vậy để số hộp cần dùng là nhỏ nhất thì ta có thể mô hình hóa bài toán như sau:

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV hướng dẫn HS các bước giải một bài toán quy hoạch tuyến tính.

- GV nêu chú ý.

- GV hướng dẫn HS bước 2 trong Bài toán 1.

- GV yêu cầu HS thực hiện Luyện tập 2 theo nhóm đôi.

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Bài toán 2.

+ GV hướng dẫn HS: Giả sử cô Hạnh cần mua cổ phiếu A và cổ phiếu B. Điều kiện của biến là gì?

+ Viết các bất phương trình biểu diễn số tiền đầu từ và số lượng cổ phiếu mà cô Hạnh đầu tư.

+ Tính số tiền chi trả cổ tức của hai loại cô phiếu và viết hàm mục tiêu.

+ Hình thành bài toán quy hoạch tuyến tính và giải bài toán theo các bước đã nêu ở trên.

- GV cho HS thảo luận theo nhóm nhỏ thực hiện Bài toán 3.

+ GV mời 1 – 2 nhóm trình bày đáp án.

+ HS ở dưới bổ sung và nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

GV chú ý cho HS: “ Đối với các bài toán có miền nghiệm không phải là một đa giác, ta thừa nhận rằng giá trị của biểu thức   luôn đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp số thực là tọa độ một trong các “đỉnh” đó của miền nghiệm (S)”.

- GV cho HS hoàn thành yêu cầu của Luyện tập 3.

+ GV mời 1 HS lên bảng trình bày.

+ HS ở dưới bổ sung và nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, tiếp nhận kiến thức, hoành thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát, hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quá lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

II. Cách giải một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Ghi nhớ

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình

Bước 2. Trong tất cả các điểm thuộc , tìm điểm sao cho biểu thức có giá trị lớn nhất với bài toán dạng (I) (hoặc có giá trị nhỏ nhất với bài toán ở dạng (II)).

Chú ý:

Khi miền nghiệm là đa giác, ta thừa nhận rằng biểu thức đạt giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) tại cặp số thực là tọa độ một trong các đỉnh của đa giác đó. Khi đó, ta có thể thực hiện Bước 2 như sau:

Xác định tọa độ các đỉnh của đa giác đó.

• Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của đa giác đó.

• So sánh các giá trị và kết luận.

Bài toán 1 (SGK – tr.23)

Hướng dẫn giải: SGk – tr.23+24

Luyện tập 2 (SGK – tr.24)

Gọi lần lượt là số lít nước sinh tố loại thứ nhất và loại thứ hai mà công ty dự định sản xuất.

Tổng số tiền công ty thu được khi bán lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là: (đồng).

Số lít nước anh đào có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Số lít nước cảm có trong lít nước sinh tố loại thứ nhất và lít nước sinh tố loại thứ hai là (lít).

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dưới dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ( là các số thực):

hay

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức khi thỏa mãn hệ bất phương trình (I’).

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I’).

Miền nghiệm là miền tứ giác OABC với tọa độ các đỉnh (hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của tứ giác này:

Bước 3. Ta đã biết biểu thức đạt giá trị lớn nhất tại cặp số thực là tọa độ một trong các đỉnh của tứ giác OABC. So sánh bốn giá trị thu được của T ở bước 2, ta được giá trị lớn nhất cần tìm là .

Bước 4. Vì 40 và 230 đều là số tự nhiên nên cặp số là nghiệm của bài toán (I).

Vậy công ty phải sản xuất 40 lít nước sinh tố loại thứ nhất và 230 lít sinh tố loại thứ hai để tổng số tiền công ty thu được nhiều nhất.

Bài toán 2 (SGK – tr.24)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.24 +25

Bài toán 3 (SGK – tr.25)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.26 + 27

Chú ý: SGK - 27

Luyện tập 3 (SGK – tr.27)

Gọi là số xe tải loại thứ nhất và là số xe tải loại thứ hai cần dùng .

Chi phí vận chuyển là (triệu đồng).

Số tấn hàng hóa A chở được là (tấn).

Số tấn hàng hóa B chở được là (tấn).

heo giả thiết, và cần thỏa mãn các điều kiện:

;

;

.

Vì lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng dự trữ nên ta có thể viết dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính sau:

Xét hệ bất phương trình bậc nhật hai ẩn ( là các số thực):

Bài toán đưa về: Tìm là nghiệm của hệ bất phương trình:

sao cho có giá trị nhỏ nhất và .

Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm S của hệ bất phương trình (I) là hình phẳng giới hạn bởi tia Ay, các cạnh AB và BC, tia Cx kể cả biên với
(hình vẽ).

Bước 2. Tính giá trị của biểu thức tại các đỉnh của miền nghiệm (S):

Bước 3. Ta thừa nhận biểu thức có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm (S). So sánh ba giá trị thu được của T ở bước 2, kết hợp với điều kiện và là số tự nhiên, ta được giá trọ nhỏ nhất cần tìm là .

Vậy phải dùng 3 xe tải mỗi loại để chi phí vận chuyện là ít nhất.