Giáo án chuyên đề Toán 12 cánh diều Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Để giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức  , trong đó là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( được tính bằng miligam) 

Máy đo huyết áp

(Nguồn: http://shutterstock.com)

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV yêu cầu HS nghiên cứu Bài toán 1.

Hãy giải bài toán ở phần mở đầu.

- GV yêu cầu HS nhắc lại các bước xác tìm Min, Max bằng cách vận dụng đạo hàm.

B1: Tìm TXĐ.

B2: Tìm .

B3: Giải . Tìm nghiệm thỏa mãn.

B4: Lập bảng biến thiên.

B5. Kết luận.

- GV yêu cầu HS nghiên cứu Bài toán 2.

+ GV hướng dẫn HS áp dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất của các hàm số.

- GV yêu cầu HS quan sát và nghiên cứu  Bài toán 3 theo nhóm đôi.

- GV hướng dẫn HS:

• Độ dài đoạn thẳng BS phụ thuộc vào bằng bao nhiêu?

• Độ dài đoạn thẳng SC phụ thuộc vào bằng bao nhiêu?

• Tổng chi phí để mắc đường dây tải điện ASC bằng bao nhiêu?

• Độ dài đoạn thẳng AS bằng bao nhiêu thì chi phí đường dây điện là nhỏ nhất?

- GV cho HS thực hiện Luyện tập 1.

Một nhà máy cần sản xuất một bể nước không nắp bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật với đáy có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và thể tích là . Tính chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật đó sao cho số tôn cần sử dụng là nhỏ nhất.

- GV gọi 2 HS lên bảng trình bày.

- HS khác theo dõi.

- GV sửa bài, chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, tiếp nhận kiến thức, hoành thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát, hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quá lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

I. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong khoa học, kĩ thuật và công nghệ

Bài toán 1 (SGK – tr.29)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.29 + 30

Bài toán 2 (SGK – tr.30)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.30

Bài toán 3 (SGK – tr.31)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.31

Luyện tập 1 (SGK – tr.31)

Gọi chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật đó là (m) .

Chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật đó là (m).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là: (m).

Diện tích đáy hình hộp chữ nhật đó là

Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó là .

Diện tích tôn cần sử dụng là: .

Xét hàm số .

Ta có: .

Bảng biến thiên của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: .

Vậy chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là 1 mét để số tôn cần sử dụng là nhỏ nhất.

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Bài toán 4.

- GV hướng dẫn HS: 

• Công thức tính đạo hàm của theo định nghĩa là gì?

• Khi càng lớn thì giá trị của sẽ như thế nào?

GV rút ra nhận xét: “Khi lợi nhuận cận biên bắt đầu giảm dần đối với một loại hàng hóa thì việc sản xuất thêm loại hàng hóa đó sẽ làm giảm lợi nhuận cho doanh nghiệp”. 

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Bài toán 5 theo nhóm đôi.

+ GV mời 1 – 2 nhóm trình bày đáp.

+ GV giải thích hàm chi phí trung bình, mở rộng thêm những vấn đề liên quan đến chi phí, sản xuất và lợi nhuận trong kinh doanh.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Bài toán 6 theo nhóm 4 HS.

+ GV hướng dẫn HS lập hàm số xác định lợi nhuận của cửa hàng.

+ Áp dụng đạo hàm để tính lợi nhuận lớn nhất.

+ GV gọi 1 – 2 nhóm trình bày đáp án.

- GV dẫn dắt HS kết luận về các bước giải một bài toán tối ưu bằng phương pháp sử dụng đạo hàm.

- GV cho HS thực hiện Luyện tập 2.

- GV gọi 2 HS lên bảng trình bày.

- GV nhận xét, chốt đáp án.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:

- HS theo dõi SGK, chú ý lắng nghe, tiếp nhận kiến thức, hoành thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát, hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận:

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày.

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn.

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quá lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

II. Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong kinh tế

Bài toán 4 (SGK – tr.32)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.32

Bài toán 5 (SGK – tr.32)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.33

Bài toán 6 (SGK – tr.34)

Hướng dẫn giải: SGK – tr.34

Kết luận

Để giải quyết bài toán tối ưu trong thực tiễn bằng phương pháp sử dụng đạo hàm, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Xây dựng hàm số biểu thị đại lượng biến thiên trong bài toán tối ưu đó.

Bước 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, hoặc nhỏ nhất của hàm số nhận được ở Bước 1.

Bước 3. Dựa trên giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm số nhận được ở Bước 2, ta có thể xác định được nghiệm cho bài toán tối ưu ban đầu.

Luyện tập 2 (SGK – tr.34)

Đổi 100000 đồng = 0,1 triệu đồng.

Gọi x là số lần tăng giá phòng (x ∈ ℕ*).

Số tiền tăng giá trong 1 tháng cho mỗi phòng là: (triệu đồng).

Khi đó, giá cho thuê của mỗi căn phòng trong 1 tháng là: (triệu đồng) và số phòng cho thuê được là: .

Tổng số tiền thu được là: (triệu đồng).

Xét hàm số , với .

Ta có:

.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có
 .

Vậy công ty phải cho thuê mỗi căn phòng với giá là triệu đồng để tổng số tiền thu được là lớn nhất.